視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數(shù)學優(yōu)質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)質課課例展示2.1.2基本不等式-甘肅
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第十一屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)質課課例展示2.1.2基本不等式-甘肅
2.1.2基本不等式（線上教學）
【內容解析】
1.課標要求：
掌握基本不等式 ，結合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題.
2.在教材中的地位和作用：
-
定位：在新教材中調整為預備知識，重點研究基本不等式的發(fā)現(xiàn)與證明，并且將之應用于求最值問題.
-
位置：作為相等關系與不等關系的子單元，連接了不等式的性質和后續(xù)三個“二次”關系的求最值問題.
-
作用：培養(yǎng)學生從多角度發(fā)現(xiàn)問題的數(shù)學思維、借助直觀理解數(shù)學原理，發(fā)展代數(shù)推理能力.
【教學目標】
1．經歷從初中的完全平方公式與趙爽弦圖的代數(shù)、幾何兩條思路抽象出重要不等式
a2+
b2≥2
ab過程，通過代數(shù)變換，推出基本不等式 ，并進一步解釋基本不等式結構；
2．利用不等式的性質，探索這兩個不等式的代數(shù)證明思路及它們的內在聯(lián)系，提升邏輯推理素養(yǎng)；
3．了解基本不等式的幾何解釋，從數(shù)形結合的角度對基本不等式進行再認識，體會數(shù)與形的和諧統(tǒng)一，感受數(shù)學美，促進直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展；
4．會用基本不等式解決簡單的最值問題，初步了解不等式的應用價值，發(fā)展數(shù)學運算、數(shù)學建模素養(yǎng)．
【教學重點】
從不同角度探索基本不等式的發(fā)現(xiàn)與證明，會用基本不等式解決簡單的最值問題.
【學情分析】
1
.知識儲備：初中已經認識不等式，上節(jié)課學習了不等式的性質，能夠進行簡單的數(shù)與式的比較;會用作差法證明簡單的不等式.
2.能力儲備：平時的課堂教學中，已經培養(yǎng)學生具備了一定的小組討論和探究合作學習的能力;學生思維活躍，有充沛的精力和較強的求知欲.
3.不足之處：代數(shù)思維尚未建立起來，缺乏運用結構化的眼光看待研究對象的意識，還未掌握高中的學習方式方法;對于不等式的理解存在畏難情緒，不愿意主動去探究.
【教學難點】 以數(shù)學模型的觀點理解基本不等式，解決簡單的最值問題．
【教學策略】 充分發(fā)揮小組討論，探究合作學習模式，讓學生互幫互學學會分析問題，解決問題；利用初中學過的知識和方法，發(fā)揮幾何畫板動圖的演示作用，運用啟發(fā)式、探究式教學方法讓學生能夠運用數(shù)形結合思想，充分理解基本不等式.
【教學過程】
（代數(shù)思路）
課前布置的思考題：有一個小廠想要擴大規(guī)模，在去年的年初爭取到了一筆投資意向，但投資人提出一個要求：在接下來的兩年中，年均產量必須保持在15%以上的增長率，但受到客觀因素的影響，去年只有12%的增長率.為了能爭取到這筆投資，該廠調整思路，重新規(guī)劃方案，在今年最多可達到18%的增長率.現(xiàn)在我把這個問題交給大家，你能用你的數(shù)學知識判斷一下，這個方案可以完成投資人的要求嗎？
師生活動 通過騰訊會議的投票功能，看出個別學生不會此題，由學生共享屏幕講解解題過程，老師提出計算中發(fā)現(xiàn)的問題.
設計意圖 在本題的計算問題中提出 與 不用計算就能比大小問題,為代數(shù)主線發(fā)現(xiàn)兩個不等式奠定基礎，也為基本不等式的應用埋下伏筆.
在初中的學習中，我們學過兩數(shù)差的完全平方公式，形式是什么？能用它寫出一個恒成立的不等關系嗎？
引導學生從 ，變形后得到： ，從而得出猜想.
猜想1 對任意 ，必有 ，當且僅當 時等號成立.
問題1 a,b的取值范圍是什么？
問題2 等號在什么情況下成立？
師生活動 借助初中知識，學生很快能得到變形的不等式，教師組織學生思考并回答問題.
設計意圖 引導學生從初中的代數(shù)知識入手，得到今天要學習的內容，通過問題1，2的回答，讓學生自主得出重要不等式.
觀察重要不等式 的結構，發(fā)現(xiàn)左邊可以敘述為“二分之兩個大于等于0的數(shù)的和”，這和初中學習的兩個數(shù)的平均數(shù)一致，于是引導學生將公式中的 用
a替代， 用
b替代，可以得出猜想.
猜想2 對任意 ，必有 ，當且僅當 時等號成立.
師生活動 從平均數(shù)角度引導學生學生自主完成公式代換，并深化學生的認識.一般地，對于正數(shù)
a，
b稱 為 的幾何平均數(shù)；稱 為 的算術平均數(shù).
基本不等式 又可敘述為：
兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術平均數(shù).
設計意圖 讓學生在自主完成公式代換的過程中，體會轉化與化歸的思想；在兩種平均數(shù)的講解中，開拓了學生對高中知識的認知.
在此基礎上，教師指出，兩個不等式分別稱為重要不等式和基本不等式.
重要不等式 對任意 ，必有 ，當且僅當 時等號成立.
基本不等式 對任意 ，必有 ，當且僅當 時等號成立.
三、掌握證法，適當延展
問題3 請同學們給出這兩個不等式的證明．
證明1（公式得出過程即為證明過程）
所以 ，當且僅當 時取等號．
證明2（作差法）
任意
當且僅當 時等號成立.
所以對任意 ，必有 ，當且僅當 時等號成立.
師生活動 教師引導學生對基本不等式猜想進行證明，學生共享屏幕在線完成，教師點評并糾正問題.在這個過程中教師重點關注學生能否靈活運用不等式的性質以及不等式的證明方法完成證明.教師引導學生關注式子的結構，從而利用作差法來完成證明.學生利用屏幕共享功能在線書寫證明過程.
設計意圖 通過引導學生完成證明，從而得出本節(jié)課的教學內容，明確兩個定理之間的關系.進一步掌握不等式的性質及不等式的證明方法.并加強學生對基本不等式成立條件的運用.
（幾何思路）
數(shù)學的學習中數(shù)與形是不分家的，我們剛才從數(shù)的角度入手，利用初中的數(shù)學知識，經歷了從發(fā)現(xiàn)兩個基本不等式，到證明它們成立.那在形的角度我們能不能發(fā)現(xiàn)它們呢？
大家對“諾貝爾獎”不陌生吧，對數(shù)學屆的最高獎項“菲爾茲獎”知道嗎？它是在國際數(shù)學家大會上頒發(fā)的，2002年第24屆國際數(shù)學家大會在北京召開，會標就是“趙爽弦圖”.
五、歸納探索，形成概念
探究一
問題3—6 我們可以發(fā)現(xiàn)，當四個直角三角形直角邊的邊長發(fā)生變化，使得每個直角三角形都變?yōu)榈妊苯侨切�，這時你發(fā)現(xiàn)了什么？
探究二
先將兩張正方形紙片沿它們的對角線折成兩個等腰直角三角形，再用這兩個三角形拼接構造出一個矩形（兩邊分別等于兩個直角三角形的直角邊，多余部分
折疊）．假設兩個正方形的面積分別為a和b，考察兩個直角三角形的面積與矩形的面積，你能發(fā)現(xiàn)一個不等式嗎？
師生活動 利用騰訊會議的分組討論模式，在線分成兩個小組，分別對探究一和探究二在線討論.
在探究一學生回答時教師演示動畫，讓四個直角三角形直角邊的邊長發(fā)生變化，學生在觀察的基礎上進行思考，教師組織學生交流并回答問題.
探究二由學生共享屏幕講解.
設計意圖
探究一 引導學生得到 中等號成立的條件，即
a=
b時，
E，
F，
G，
H重合，這時 .通過探究，從趙爽弦圖中發(fā)現(xiàn)重要不等式.
探究二 學生通過折紙試驗發(fā)現(xiàn)基本不等式，并明確 中等號成立的條件，即
a=
b時兩個直角三角形全等.
六、掌握證法，適當延展
問題7 如圖，
AB是圓
O的直徑，過
AB上一點
C作垂直于
AB的弦
DE，連接
AD,BD．觀察動圖中
OD，CD長度的大小關系.
問題8 設
AC=a，BC=b．你能利用找到的
OD，CD長度的大小關系解釋基本不等式嗎？
師生活動 教師演示動圖，出示圖片和問題，引導學生利用圓
的幾何性質，得到 及 的幾何意義，從而
根據(jù)圓中的數(shù)量關系解釋基本不等式.學生利用屏幕共享在線展示推導過程.
設計意圖 通過問題，讓學生加深對基本不等式的認識，對基本不等式中取等號的條件有更直觀的認識，進一步加強數(shù)形結合的意識，提升思維的靈活性，促進直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展.
基本不等式 又可敘述為：
半徑長不小于半弦長.
-
聯(lián)系應用、遷移內化
1.
回到最初提出的問題 與 不用計算就能比大小.
師生活動 學生利用基本不等式，很快比較出兩者的大小.
設計意圖 加深學生對基本不等式的理解并能靈活運用，明確基本不等式的一種應用——比較大小.
2.再次認真觀察基本不等式的結構，它是連接了兩個非負數(shù)的和與積的不等關系，你能找到兩個用字母表示的數(shù)，它們的乘積為定值嗎？你能得到它們的和的范圍嗎？
師生活動 (1)(2)兩個小題：教師引導學生自主找到這兩個不等式，引導學生體會基本不等式中所蘊含的兩個正數(shù)的積與和兩類運算結構，得出兩個正數(shù)的積為定值時，和有取值范圍.從而得出和有最小值，這樣就自然感受到基本不等式還能解決最值問題.
設計意圖 通過(1)(2)，讓學生一步步理解基本不等式的應用及其等號成立的條件，體會基本不等式揭示的兩正數(shù)積定和有最小值的應用方向.由于時間關系另外一種和定積有最大值的應用要放在下節(jié)課講解.這個設計也起到了承上啟下的作用，也給有能力的學生留下課后思考問題.
八、歸納小結，提高認識
回顧本節(jié)課的學習，回答問題
1. 你能歸納一下基本不等式的研究過程嗎？
2. 你對基本不等式有怎樣的認識？
3. 解決最值問題時，需要有什么注意的嗎？
設計意圖 分別引導學生從方法、知識、應用三個方面歸納本節(jié)課的學習，反思學習過程，形成有條理的理性認識，其中重點回顧基本不等式的研究過程和方法，對這種“規(guī)則型”的課形成一種研究思路：發(fā)現(xiàn)——證明——應用.
1.夯實基礎：課本
P39 練習1、2、3、4
2.拓展延伸：
（1）基本不等式是重要不等式的變形，你能從基本不等式中得出其他一些變形嗎？
（2）課堂中利用圓幾何解釋了基本不等式，你還能想到其他幾何解釋嗎？
3.拓展應用：
你能構造一個生活情境，將今天所學的求最值方法應用其中嗎？
設計意圖 采用分層布置作業(yè)的方式，適用于不同程度的學生.對于拓展延
伸是給有想法的學生一些思路，繼續(xù)深度理解基本不等式；拓展應用是對
下節(jié)課講基本不等式的應用的鋪墊.
視頻來源：優(yōu)質課網 www.jixiangsibao.com
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