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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課課例展示3.2.1單調性與最大（小）值教學-福建
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人教A版（2019年）必修第一冊第三章第二節函數的基本性質的第一課時
3.2 函數的基本性質
3.2.1 單調性與最大（小）值教學設計
一、教學內容解析
1.內容
本節課是人教A版（2019年）必修第一冊第三章第二節函數的基本性質的第一課時。
2.內容解析
本節課是在學生學習了函數的概念以及表示方法后進行的。在學完本小節后，學生將掌握研究函數性質的一般方法，對接下來基本函數模型的學習具有指導作用。而對于函數的基本性質這節課來說，單調性是所有函數都具備的性質之一，是研究函數性質必不可少的一部分，因此作為為第一課時的內容進行學習。
函數單調性是函數的一種定性性質。在必修課程的函數主題中，我們利用代數運算和圖象直觀結合的方式研究函數的單調性，并用更加精確的符號語言描述。而在選擇性必修課程中，將進一步利用導數語言來精確刻畫函數在局部上的單調性，因此本單元是后續學習的基礎，特別是學習數學語言刻畫尤為重要。
在本節課中，學生研究函數需要研究函數的變化規律，而不變的規律就是所謂的性質，因此在研究函數性質時要抓住變化中的不變性。而在單調性研究的過程中，教師要引導分析函數值隨自變量的值的變化而變化中具有的不變關系。同時通過圖象的幾何直觀進而數學抽象出符號語言，用更加簡潔的符號語言進行描述，不斷提升學生的數學抽象素養。在學習完單調性概念后，學生在教師的引導下學習了如何證明函數的單調性，培養學生邏輯推理、數學運算的核心素養。
3.教學重點
用符號語言表達函數的單調性，用定義證明函數的單調性
二、教學目標設置
1.課程目標
借助函數圖象，會用符號語言表達函數的單調性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義。
2.課時教學目標
（1）通過圖象變化，經歷函數單調性概念的抽象過程，能用二次函數例子說出函數單調遞增、單調遞減的定義及其圖象特征，同時能夠說出增函數、減函數的定義及其圖象特征；同時通過全稱量詞和存在量詞等數學符號語言表達單調性定義，經歷數學抽象的過程。
（2）能夠通過例子明確用函數單調性定義證明函數的單調性的步驟，能用函數單調性的定義解決函數單調性問題，發展邏輯推理、數學運算素養。
三、學生學情分析
1.問題診斷
學生已經在前面的學習中掌握了函數的概念及其表示方法，在初中已經熟練掌握了利用函數的圖象來說明函數值隨自變量的值的變化而變化的性質。同時學生已經在前面學習了如何用數學符號語言來說明“任意”，“都有”這樣的數學語言，已經具備利用數學語言來刻畫函數性質的能力。
但是學生還欠缺的是將這些語言組織起來進而表達函數的單調性，因此本節課采用的是“規-例”法教學，即先由教師在具體情境中示范如何使用符號語言表達函數的單調性，然后再讓學生進行模仿，在熟悉相應的符號語言表達后，再給出嚴格的定義，并在應用定義證明具體函數單調性的過程中，更深入理解符號語言。教師在這個過程中采用幾何畫板動態展示函數值隨自變量變化而變化的情況，設置一個從定性到定量的歸納過程，引導學生逐步給出函數單調性的定義，再通過辨析、練習幫助學生理解定義。
本節課的第二個難點就是函數單調性的證明，這是學生代數推理證明的薄弱，需要學生通過應用代數變形以及不等式的相關性質進行證明。教學中教師從簡到難，在不斷熟練的過程中逐步掌握證明函數單調性的方法和步驟，積累相應的活動經驗。
2.教學難點
用符號語言表達函數的單調性；利用定義證明函數的單調性。
四、教學策略分析
1、本節課從圖象入手，讓學生從更直觀的角度分析函數的圖象，進而分析函數的基本性質，同時能夠利用學生初中所學的知識更快地進入課堂內容。同時在導入本節課單調性的定義時，也采用的是初中所學過的二次函數進行分析。
2、為了能夠吸引學生的興趣，更加直觀感受函數值隨自變量值的變化而變化，利用幾何畫板進行動態演示，通過坐標的變化讓學生對于這個變化的感覺更加有沖擊力，也能有利于學生通過符號表達其中的變化規律。
3、為了讓學生對于函數單調性的定義應用能夠循序漸進，教師在安排例題時也是由淺入深進行設計。從學生最為熟知的一次函數、反比例函數入手，在圖象熟悉的前提下，如何采用符號將熟悉的文字語言進行表達。最后將一次函數與反比例函數相結合進行一次強化，讓學生能夠加強代數變形能力，提升數學運算核心素養。這樣的設計也能夠讓各種層次的學生得到相對應的訓練，達到一定的效果。
五、教學過程
環節一 章節引入，引出話題
引導語 前面我們學習了函數的定義和表示法，明確知道函數是描述客觀世界變量之間的一種對應關系。我們研究了函數的變化規律就可以用來把握客觀世界中事物的變化規律。
因此如何更好、更準確地研究函數的性質對于我們研究客觀世界中的事物變化規律尤為重要。而我們知道函數的表示方法中有解析法、列表法、圖象法，圖象法能夠更加直觀地發現函數的性質。
問題 觀察、分析和比較圖3.2-1中的函數圖象，你能從變化規律以及圖象的特征等角度說說它們有什么特點嗎？
師生活動 學生觀察圖象，說出函數的性質，教師應該多引導學生觀察圖象，盡可能多地說出函數的性質。教師在這個過程要多引導學生，都要給予正面肯定的評價。同時教師也要在這個過程中引導學生如何觀察。教師在學生說的過程中在黑板上適當板書。
【設計意圖】整體感知函數的性質，規劃單元整體研究方案，明確本節課的學習任務，了解本節課的地位作用。
環節二 抽象概括，形成概念
問題 在初中我們已經利用了函數的圖象研究過了函數值隨自變量的變化而變化的性質，我們把它叫做函數的單調性。因為初中只是用圖象來研究，這樣還是不夠細致，因此我們需要進一步用符號語言表達函數的單調性。觀察函數
，回答下列問題：
（1）你能否用初中的數學語言來說一下這個函數的函數值是隨自變量的值如何變化的？
（2）我們來看看左側的圖象，大家觀察點在動態移動的過程中。它的橫縱坐標的變化規律是什么？
（3）我們如何用符號語言來描述“當
時，
隨著
的增大而減小”這句話？
師生活動 學生根據初中所學的學習經驗和對圖象的觀察分析，同時老師在此過程中要多加啟發引導。利用幾何畫板進行演示，讓學生對于“隨著的增大而減小”有更深刻的認識。學生在教師的引導下能夠把相關的符號語言寫出來。
學生在教師的引導下進行說明，在教師黑板上書寫出
在時隨著的增大而減小的符號語言：
當
時，都有
，
追問1 那對于上面的符號語言，你能否說明為什么？
師生活動 學生在教師的引導下進行證明，通過代數變形以及不等式的性質來證明相關結論。
追問2 那對于
呢？該如何用符號語言來表示？
師生活動 學生已經有了相對應的經驗，在書寫相關符號語言時就比較自然，教師可以提問一些學生進行回答。
問題 剛才我們研究的是一個具體函數，其實每個函數都具有相對應的性質，如果我們把這個概念延伸到任意函數，就得到了我們今天要學習的概念——函數的單調性，你能給出函數在區間
上單調遞增或單調遞減的符號語言嗎？
師生活動 先由學生獨立思考、作答，教師進行引導，然后教師板書出完整的單調性定義：
①單調遞增和增函數：
一般地，設函數的定義域為
，區間
，如果∀
，當時，都有，那么就稱函數在區間上單調遞增.特別地，當函數在它的定義域上單調遞增時，我們就稱它是增函數.
②單調遞減和減函數：
一般地，設函數的定義域為，區間，如果∀，當時，都有
，那么就稱函數在區間上單調遞減.特別地，當函數在它的定義域上單調遞減時，我們就稱它是減函數.
③單調性和單調區間
如果函數在區間上單調遞增或單調遞減，那么就說函數在這一區間具有（嚴格）的單調性，區間叫做的單調區間.
【設計意圖】在經歷了特殊函數單調性的符號語言表示之后，學生從中歸納總結出共性，抽象出一般函數單調性符號語言表達。這里要先安排學生從簡單的二次函數入手，在學生表達的過程中，教師就可以發現其中的表達問題，然后再讓學生進行完善，這就是一個“示范-模仿-改進-完善”的過程，這樣學生能夠參與到課堂之中，質量和效率都有保證。
環節三 辨析概念，加深理解
問題 (1)設
是區間上的自變量的某些值組成的集合，而且∀
，當，都有，你能說函數f(x)在區間上單調遞增嗎？試舉例說明.
(2)函數的單調性是對定義域上的某個區間而言的，你能舉出在整個定義域內單調遞增的函數嗎？你能舉出在定義域內的某些區間單調遞增而在另一些區間上單調遞減的函數嗎？
師生活動 學生先獨立思考、舉例，再進行小組交流，班級展示交流，教師可以通過多種方式表示函數。
【設計意圖】問題（1）的目的是讓學生辨析定義中的“任意”二字，問題（2）是為了區分“單調遞增”與“增函數”，“單調遞減”與“減函數”的概念，同時也為了引導學生認識到函數在不同區間上單調遞增時，在它們的并集上不一定保持單調遞增的性質。
環節四 初步應用，培養技能
例1 根據定義，研究函數
的單調性。
師生活動 先讓學生獨立思考研究思路，再進行全班討論，然后學生給出嚴格的表述，教師點評完善解答過程。
教師應強調：雖然我們可以通過圖象比較快速地知道函數的單調性，但是圖象并不嚴謹，如果遇到更加復雜的函數，通過代數運算得出函數的單調性就比較有優勢。
【設計意圖】一次函數是比較簡單的函數模型，學生可以很容易從觀察圖象得到函數的單調性，但是學生現在要提升邏輯推理證明的能力，通過簡單的推理來研究函數的單調性。同時讓學生熟悉利用單調性定義來研究函數單調性的基本步驟。
例2 物理學中的玻意耳定律(
為正常數)告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積
減小時，壓強
將增大。試對此用函數的單調性證明。
師生活動 先讓學生獨立思考“體積減小時，壓強增大”的代數含義。建立物理意義與函數單調性的聯系，再讓學生獨立給出證明，可以讓學生進行板書，完成后再進行點評完善。
【設計意圖】例2是一個物理學的公式，同時也是學生初中所學的簡單函數模型——反比例函數。學生在研究的過程中明確函數模型可以用來刻畫現實世界中的現象。而且數學研究的不是一個現象，而是從中抽象概括出來的一般問題，從中不斷歸納出一般規律以及研究的一般方法。
例3 請根據定義說明在區間上的單調性。
師生活動 先由學生獨立思考并寫出證明過程，可挑選一兩個同學的進行演示，然后再進行全班交流。要引導學生進一步總結證明步驟，明確代數變形的方向。
【設計意圖】利用單調性的定義，通過嚴格的代數推理，獲得函數在
的單調性，同時也讓學生掌握對于一個陌生函數的研究步驟，進一步體會本節課函數單調性的定義的作用，同時在此啟發學生思考函數在其他區間的單調性。這個函數的圖象該怎么畫呢？又有什么特點呢？為后續課程奇偶性做好鋪墊。
環節五 課堂小結，總結提升
問題 回顧本節課的學習內容，回答下列問題：
（1）你認為，在理解函數的單調性時應把握好哪些關鍵問題？
（2）結合本節課的學習過程，你對函數性質的研究內容和方法有什么體會？
師生活動 在學生獨立思考的基礎上回答，教師再進行歸納。
【設計意圖】學生再對本節課中的重點知識做一個回顧，特別是在理解單調性時要抓住任意。同時還要注意單調性證明時研究的區間，明確研究區間才能對單調性進行研究。同時了解研究函數的一般方法，對于研究函數性質有一個更加深刻的認識。
環節六 作業布置
課后作業 校本作業。
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