聯系本站客服加+微信號15139388181 或QQ：9899267 |
視頻標簽：函數模型的應用
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版數學必修1第四章4.5.3函數模型的應用（第1課時）
本視頻配套資料的教學設計、課件 /課堂實錄及教案下載可聯本站系客服
人教 A 版數學必修1第四章4.5.3函數模型的應用（第1課時）
4.5.3函數模型的應用（第1課時）
一、內容與內容解析
1.內容
教科書例3和例4，用已知的函數模型刻畫實際問題．
2.內容解析
函數的實際應用有兩個層次，一是用已知的函數模型刻畫實際問題，二是根據問題的條件建立函數模型解決問題.本節課主要通過兩道例題的研究讓學生經歷用已知的指數型函數模型刻畫實際問題的基本過程．
函數是描述客觀世界變化規律的數學語言和工具，利用函數模型刻畫實際問題蘊含著數學建模思想.現實中的某一類變化可以用指數型函數模型刻畫，為了解決實際問題的需要，需要根據具體得到的數據確定函數模型中的參數，這實質上是一個利用待定系數法求函數解析式的過程，體現了函數與方程的思想.
本節課所學內容是在學習了指數函數和對數函數的圖象和性質基礎上解決實際問題，是指數函數和對數函數在實際中的應用.通過本節課的學習，不但讓學生體會到指數函數和對數函數在刻畫現實世界中的作用，而且使學生對研究函數的基本套路：“背景—概念—圖象和性質—應用”有了整體的認識.
用函數模型刻畫實際問題，可以使學生體會函數在描述客觀世界中變量關系和規律的作用，豐富對數學的認識，激發應用數學的意識，感受數學的應用價值，提升數學抽象和數學建模核心素養．
教學重點：根據條件確定已知函數模型的參數并利用函數模型解決實際問題.
二、目標與目標解析
1．目標
（1）能根據條件通過待定系數法求出給定函數模型的參數，培養函數與方程思想.
（2）會利用已知函數模型解釋實際問題并對現實世界進行預測和推斷，發展數學抽象和數學建模素養，提高分析問題和解決問題能力.
（3）明確函數是刻畫客觀世界中變量關系和規律的數學語言和工具，體會數學的應用價值.
2．目標解析
達成上述目標的標志是：
（1）能夠通過教科書中例3和例4的已知條件，根據函數模型得到方程，利用信息技術求出方程的解，確定模型中的參數.
（2）能夠在問題的引導下順利解決教材中例3和例4中的實際問題，能夠自主解決一些實際問題.
（3）能夠體會函數在解決實際問題中的作用，如說出馬爾薩斯人口模型在人口問題研究中的作用，碳14檢測法在考古學中的價值等.
三、教學問題診斷分析
學生利用數學知識解決實際問題的經驗比較欠缺，雖然學習了函數的基本概念和一些常見函數的圖象和性質，研究了函數在解方程方面的應用，但是利用函數模型刻畫實際問題還是存在一定的困難，主要表現在兩方面：一是無法找到恰當的函數模型刻畫現實世界中兩個變量之間的關系；二是不能夠根據函數模型正確地解決實際問題.
當給定函數模型時，雖然不存在選擇函數模型的問題，但是需要根據條件確定所給模型中的參數，并且給定的模型與現實情況不一定吻合.
因此本節課的教學難點有兩個：一是根據條件確定已知函數模型的參數；二是利用函數模型對實際情況作出正確的解釋和判斷.
為了破解上述難點，首先要讓學生正確理解所給函數模型中變量的實際意義，結合條件得到方程，并利用信息技術求出參數的值；其次在得到函數模型之后，可以利用信息技術畫出函數圖象和實際數據的散點圖，觀察其吻合程度，分析模型的合理性，通過討論由模型得到的值與實際情況產生差異的原因，讓學生認識到用已知函數模型刻畫實際問題時，應注意其適用條件.
四、教學支持條件分析
為了方便學生確定函數模型中的參數，分析函數模型，利用函數模型對現實生活進行解釋和判斷，本節課的教學，可以利用GGB軟件繪制函數圖象，并進行數值的計算.
五、教學過程設計
我們知道函數是描述客觀世界變化規律的數學模型，不同的變化規律需要不同的函數模型來刻畫，面臨一個實際問題，該如何選擇恰當的函數模型來刻畫它呢？這節課我們將先學習利用已知的函數模型解決實際問題．
（一）例題教學
例3 人口問題是當今世界各國普遍關注的問題.認識人口數量的變化規律，可以為制定一系列相關政策提供依據.早在1798年，英國經濟學家馬爾薩斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了自然狀態下的人口增長模型 ，其中t表示經過的時間， 表示 時的人口數， 表示人口的年平均增長率．
（1）根據國家統計局網站公布的數據，我國1950年末、1959年末的人口總數分別為55196萬和67207萬，根據這些數據，用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在1950年－1959年期間的具體人口增長模型．
（2）利用（1）中的模型計算1951~1958年各年末的人口總數.查閱國家統計局網站公布的我國在1951~1958年間各年末的實際人口總數，檢驗所得模型與實際人口數據是否相符.
（3）以（1）中的模型作預測，大約在什么時候我國人口總數達到13億？
問題1：用馬爾薩斯人口增長模型 建立具體人口增長模型，要確定其中的哪些參數？
師生活動：學生閱讀題目之后回答.
預設的答案：建立我國自1950年起的人口增長模型需要確定其中的人口初始量 及年平均增長率 ．
追問1：我國自1950年起的人口增長模型中人口初始量 是多少？
追問2：如果1950記為初始年（ ）？1950年1959年到經過了幾年？相應 的取值為多少？
師生活動：學生思考并回答問題.
預設的答案：依題意是1950年末的人口總數55196萬．1959年是第十年．1950年1959年到經過了9年， ．
追問3：根據所給數據，馬爾薩斯人口增長模型中的參數 的值是多少？你準備采用什么樣的方法來計算 的值？
師生活動：學生小組討論計算參數的方法，教師點評補充,并選擇其中的一種方法進行演算.
預設的答案：
方法一：我國1950年末、1959年末的人口總數分別為55196萬和67207萬，根據這些數據可得 ，進而求出參數 .
方法二：通過國家統計局網站，查閱1950-1959年更多年份的實際人口數量，逐次計算各年的增長率，然后求出它們的平均值，進而得到年平均增長率 .
方法三：將1959年的人口數67207帶入馬爾薩斯人口模型 求出參數 .
由題意知 ，根據馬爾薩斯人口增長模型有 ，
整理得 ，故 .有計算工具得 .
追問4：根據前面問題的結果，你能寫出我國在1950～1959這一時期的具體人口增長模型嗎？
師生活動：學生回答，教師補充.
預設的答案：前面問題的結果，可得的我國在1950～1959這一時期的具體人口增長模型為
.
學生得出的結果可能會遺漏的范圍，教師幫助補充.
設計意圖：引導學生經歷運用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在1950~1959這一時期的具體人口增長模型的思維過程.
問題2：如何檢驗所得模型與實際人口數據是否相符？
師生活動：學生回答.
預設的答案：查閱國家統計局網站公布的我國在1951~1958年間各年末的實際人口總數，利用（1）中的模型計算1951~1958年各年末的人口總數，檢驗它們與實際人口數據是否相符.我們也可以畫出函數 的圖象，并根據國家統計局網站公布的各年末的實際人口總數數據畫出散點圖，通過函數圖象觀察所得模型與1950年至1959年期間實際人口數據是否吻合．
追問1：查閱國家統計局網站，得到我國1950~1959年各年末的實際人口總數，所得模型與1950年至1959年期間實際人口數據是否吻合？
| 年份 | 1951 | 1952 | 1953 | 1954 | 1955 | 1956 | 1957 | 1958 |
| 計算所得人口總數／萬 | 56417 | 57665 | 58940 | 60243 | 61576 | 62938 | 64330 | 65753 |
| 人口數/萬 | 56300 | 57482 | 58796 | 60266 | 61456 | 62828 | 64563 | 65994 |
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
