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視頻標(biāo)簽：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教版新教材選擇性必修第一冊(cè)3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（王芳芳）

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人教版新教材選擇性必修第一冊(cè)3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（王芳芳）

人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)選擇性必修第一冊(cè)
 
 
§3．3．1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

 
教學(xué)目標(biāo)：
1.理解拋物線的定義，掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)。
2.明確拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中P的幾何意義，能解決簡(jiǎn)單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問(wèn)題。
3.通過(guò)對(duì)拋物線和橢圓、雙曲線離心率的比較，體會(huì)三種圓錐曲線內(nèi)在的區(qū)別和聯(lián)系。
4.用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探索問(wèn)題、解決問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)捷美、和諧美。
教學(xué)重點(diǎn): 
1.掌握拋物線的定義與相關(guān)概念；
2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
教學(xué)難點(diǎn):從拋物線的畫(huà)法中抽象概括出拋物線的定義.

• 課堂導(dǎo)入

請(qǐng)同學(xué)們觀察兩張圖片：第一張是美國(guó)最高的獨(dú)自挺立的紀(jì)念碑；第二張是投籃時(shí)籃球的運(yùn)行軌跡，生活中的這些圖片像我們數(shù)學(xué)中的哪種圖形？
同學(xué)們自然會(huì)想到是拋物線，這就是我們這節(jié)課要研究的課題《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》。

• 拋物線的定義

我們?cè)谡n本113頁(yè)學(xué)習(xí)過(guò)例6，問(wèn)題1：動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡。（圖片展示以前學(xué)生的解題過(guò)程）
我們?cè)谡n本125頁(yè)學(xué)習(xí)過(guò)例5，問(wèn)題:2：動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡。（圖片展示以前學(xué)生的解題過(guò)程）
常數(shù)是時(shí)軌跡是橢圓，常數(shù)是時(shí)軌跡是雙曲線，這是特殊的點(diǎn)和特殊的直線，后來(lái)我們又研究了如果動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線(不過(guò)點(diǎn) ） 的距離的比是常數(shù)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為雙曲線。一個(gè)自然的問(wèn)題是：當(dāng)時(shí)，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等時(shí)，點(diǎn)的軌跡會(huì)是什么形狀？
問(wèn)題3  動(dòng)點(diǎn)M(x，y）到定點(diǎn)F（0，1）的距離和到定直線l：y=-1的距離相等，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程
這是開(kāi)口向上的二次函數(shù)，圖形的形狀是拋物線，這還是特殊的點(diǎn)和特殊的定直線，如果我們?cè)谄矫鎯?nèi)任作一條定直線，任取一個(gè)定點(diǎn)（定點(diǎn)不在定直線上），滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的軌跡是什么呢？下面我們?cè)囍�找�?/strong>

1. 拋物線的畫(huà)法

教師在黑板上作出一條定直線和一個(gè)定點(diǎn)（定點(diǎn)不在定直線上），過(guò)作直線的垂線，垂足，的中點(diǎn)就是我們找到的第一個(gè)點(diǎn)，在上任取點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線，連接,作線段的垂直平分線交于,點(diǎn)就是滿(mǎn)足條件的第二個(gè)點(diǎn)，同理，我們?cè)谡业降谌齻�(gè)點(diǎn)，然后用平滑的曲線連起這三個(gè)點(diǎn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)圖形像拋物線。
接下來(lái)，接著幾何畫(huà)板多做幾個(gè)點(diǎn)：點(diǎn)F是定點(diǎn)，L是不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的定直線，H是L上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H作MH垂直于L,線段FH的垂直平分線m交MH于點(diǎn)M，拖動(dòng)點(diǎn)H，點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的軌跡還是拋物線。
問(wèn)題4：請(qǐng)同學(xué)們思考：在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，拋物線上的點(diǎn)始終有什么特點(diǎn)，為什么？
M不管運(yùn)動(dòng)到哪里，都有MH=MF，因?yàn)镸始終在HF的垂直平分線上，MH是什么距離，MF是什么距離，所以說(shuō)，拋物線上的點(diǎn)M到定點(diǎn)F和定直線L的距離相等。
2.拋物線的定義
請(qǐng)同學(xué)們抽象概括出拋物線的定義：
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線（不過(guò)）的距離相等的點(diǎn)的集合叫作拋物線.
注意：①平面內(nèi)（圖片展示沒(méi)有“平面內(nèi)”得到的幾何體）
②當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線
完成練習(xí)：
(1）平面內(nèi)到直線x=2的距離和到定點(diǎn)P（-2，0）的距離相等的點(diǎn)的軌跡是（）
A.橢圓  B.拋物線  C.直線  D.雙曲線
（2）平面內(nèi)到點(diǎn)A（2，3）和直線l：x+2y-8=0距離相等的點(diǎn)的軌跡（）
A.直線  B.拋物線  C.橢圓  D.圓
（3）拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，到準(zhǔn)線的距離是_____.
教師再次強(qiáng)調(diào)：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等。
 
三．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
我們?cè)谇懊孢^(guò)求曲線方程時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)一種方法是直接法:即建系、設(shè)點(diǎn)、列方程、化簡(jiǎn)、檢驗(yàn)；那么我們?nèi)绾谓�立坐�?biāo)系才有可能使得所求拋物線方程形式更簡(jiǎn)潔？
1.學(xué)生分組討論，教師參與學(xué)生的討論過(guò)程，最后教師在黑板上作出學(xué)生的討論結(jié)果（由學(xué)生代表回答建系過(guò)程），這樣得到幾種建系方法。
不妨設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，在不同的坐標(biāo)系下，就可以寫(xiě)出的坐標(biāo)和直線的方程，由拋物線的定義列出方程，再化簡(jiǎn)結(jié)果，還是學(xué)生分組完成，請(qǐng)一個(gè)學(xué)生板書(shū)（過(guò)且與直線垂直的直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系）這個(gè)坐標(biāo)系下的推導(dǎo)過(guò)程，將不同坐標(biāo)系下求得的方程寫(xiě)到黑板上，很容易比較出哪個(gè)方程更簡(jiǎn)潔

3.完成表格
讓同學(xué)們轉(zhuǎn)動(dòng)練習(xí)本，我們發(fā)現(xiàn)拋物線的開(kāi)口還可以向左，向上，向下；向左時(shí)與向右比較，軸不變，軸方向反了，對(duì)應(yīng)到方程上，不變，變?yōu)?img height="15" src="file:///C:/Users/DELL/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image082.gif" width="25" />，同理得出其他開(kāi)口的標(biāo)準(zhǔn)方程，請(qǐng)同學(xué)們完成表格

圖形	標(biāo)準(zhǔn)方程	焦點(diǎn)坐標(biāo)	準(zhǔn)線方程

 

規(guī)律：①是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離;
②拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，左邊為二次，右邊為一次。若一次項(xiàng)是x，則焦點(diǎn)在x軸上；若一次項(xiàng)是y,則焦點(diǎn)在y軸上；（焦點(diǎn)看一次項(xiàng)。）
③標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)前面的系數(shù)為正數(shù)，則開(kāi)口方向?yàn)樽鴺?biāo)軸正方向，若一次項(xiàng)前面的系數(shù)為負(fù)數(shù)，則開(kāi)口方向?yàn)樽鴺?biāo)軸負(fù)方向，（符號(hào)決定開(kāi)口方向）
完成練習(xí)：判斷下列拋物線的開(kāi)口方向，并求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程
                          
                           
跟蹤訓(xùn)練：求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程

1. 
2. 

思考：函數(shù)的圖象是什么？焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程呢？
四．典例
求滿(mǎn)足下列條件的拋物線方程

1. 已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是
2. 已知拋物線的準(zhǔn)線方程是
3. 已知焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2

再回到問(wèn)題3：動(dòng)點(diǎn)M(x，y）到定點(diǎn)F（0，1）的距離和到定直線l：y=-1的距離相等，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程
我們剛才是用直接法求得的軌跡方程，現(xiàn)在我們利用剛剛學(xué)習(xí)的知識(shí)再解決這個(gè)問(wèn)題
 

• 課堂小結(jié)

1. 這節(jié)課我們主要學(xué)了哪些知識(shí)？
2. 體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)方法？
3. 你們有哪些感悟？
4. 你們還有哪些疑惑？

• 布置作業(yè)

1.課后練習(xí)133頁(yè)
2.習(xí)題3.3第1題，第2題
 

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