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視頻標簽：二分法
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教B版版必修一《求函數零點近似解的一種計算方法——二分法》福建師大附中
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高中數學人教B版版必修一《求函數零點近似解的一種計算方法——二分法》福建師大附中
2.4.2求函數零點近似解的一種計算方法—二分法
一、教學內容分析
本節選自《普通高中課程標準實驗教科書 •數學1》人教B版第二章第四節第二 小節，主要分析的是函數與方程的關系。用二分法求方程的近似解是新課程中的新增內容，它以上節課的“連續函數的零點存在定理”為確定方程解所在區間為依據，從求方程近似解這個側面來體現“方程與函數的關系”，求方程近似解其中隱含“逼近”的數學思想,并且運用“二分法”來逼近目標是一種普通而有效的方法，其關鍵是逼近的依據。而且在“用二分法求函數零點的步驟”中滲透了算法的思想為學生后續學習算法的內容埋下伏筆。整節課充分體現新課程“滲透數學方法，關注數學文化以及重視信息技術應用”的理念，有力培養了學生的直觀想象素養、數學建模素養、數據分析素養及邏輯推理素養等。
二、學情分析
同學們有了第一節課的基礎，對函數的零點具備基本的認識；而二分法來自生活，是由生活中抽象而來的，只要我們選材得當，能夠激發學生的學習興趣，達到滲透數學思想關注數學文化的目的，學生也能夠很容易理解這種方法。
三、設計理念
本節課倡導積極主動、勇于探索的學習方式，應用從生活實際——理論——實際應用的過程，應用數形結合、圖表、信息技術，采用教師引導——學生探索相結合的教學方法，注重提高學生數學的提出問題、分析問題和解決問題的能力，讓學生經歷直觀想象、觀察發現、數學建模、符號表示、運算求解、數據分析、邏輯推理等思維過程。
四、教學目標
1、知識目標：理解二分法的概念，掌握運用二分法求簡單方程近似解的方法，了解
這種方法是求方程近似解的常用方法。
2、能力目標：利用直觀想象分析問題來培養學生直觀想象素養，利用建立模型解決
問題來培養學生數學建模素養，通過讓學生概括二分法思想和步驟培養學生的歸納概括能力；在二分法思想的探求中培養學生數據分析，邏輯推理的能力。
3、情感目標：通過創設情境調動學生參與課堂的熱情，激發學生學習數學的情感；
在二分法步驟的探索、發現過程中，獲得成功的體驗，鍛煉了克服困難的意志，建立學習數學的自信心。 五、教學重點與難點
重點：掌握二分法的原理，能夠借助計算器，會用二分法求相應方程的近似解； 難點：方程近似解所在初始區間的確定及逼近的思想，二分法的原理，精確度的
理解。
六、教學情境設計
（1）創設情境，提出問題
情境一：16枚金幣中有一枚略輕,是假幣, 請你設計一個尋找這枚假幣的方案？ 教師提問：大家分組討論盡可能多的方案。
學生發現：方案一：平均分成兩份，每份8個放上去稱，輕的8個拿下來再平均分
成兩份放上去稱。。。。。。。直到最后剩兩個，稱一下輕的那個就是我們要找的假幣。方案二：平均分成4份，每份4個。方案三：分3份，2份5個，一份6個，把5個的兩份稱后如果天平稱是平的就說明假幣在6個中，再平均分2份。。。。。。方案4：。。。。。。（看學生具體情況）。
教師提問：這么多方案中，哪一種是你第一時間想到的，最簡單，方便，易操作的？ 學生發現：方案一。
課堂活動：教師和學生一起感受方案一的模擬實驗過程。
設計意圖：從簡單有趣的金幣問題開始，迅速調動學生的積極性，在學生分組討論
解決問題的過程中，讓學生迅速建立二分查找的思想與方法。并且通過不同方法的比較，例如三分，四分，甚至逐個稱來比較，讓學生感受二分法是一種簡單方便易操作的方法。感受數學來自生活，激發學生的學習興趣；培養學生的歸納演繹的能力；學會將實際情境轉化為數學模型。培養學生直觀想象素養，數學建模素養，邏輯推理素養等。
情境二：在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路的某一處
發生了故障。這是一條10 km長的線路，你能否給維修線路的師傅設計一 個尋找故障點的方法？
學生發現：不斷取線路的中點檢測。
設計意圖：同學們有了金幣問題作鋪墊，教師可以引導同學們用類似的方法來解決
這個連續型的線路問題。體會用二分的思想來解決實際問題的過程。讓學生感受數學來自生活，激發學生的學習興趣；引導學生善于發現身邊的數學，培養學生的歸納演繹的能力；學會將實際情景轉化為數學模型。培養學生直觀想象素養，數學建模素養，邏輯推理素養等。
教師提問：如果把這個故障點換成函數零點呢？
設計意圖：引出主題，激發學生的求知欲，將學生的思路與前面已解決的問題聯系
起來，引導學生層層深入，抽絲撥繭，學習如何分析問題、如何利用新的知識解決問題；培養分析問題、解決問題的能力，以及運用知識、駕馭知識的能力。培養學生歸納類比能力和邏輯推理素養等。
（2）合作探究，解決問題
探究1：當確定函數在區間內存在一個變號零點后，如何求出這個零點的近似值？ 教師提問：要求的函數零點就像線路問題中的故障點，初始區間類比到10km長的線
路，如何求這個零點的近似值呢？
學生發現：取區間中點。
教師追問：線路問題中可以在中點通過檢測線路在判斷故障點的位置，現在我們取完
中點要如何判斷零點在哪一半區間呢？
學生發現：通過計算f(c)的值，看它和哪一端異號。 設計意圖：教師引導學生作類比，，鼓勵學生大膽嘗試探求，感受二分法的定義。培
養學生數據分析素養，邏輯推理素養等。
探究2：嘗試歸納二分法的定義？ 課堂活動：學生討論，嘗試歸納。
教師小結：對于區間[a，b]上連續不斷，且f(a)·f(b)＜0的函數y＝f(x)，通過不
斷地把函數f(x)的零點所在區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點或零點近似值的方法叫做二分法。（強調二分法的實質：一分為二 + 逐步逼近）。
設計意圖：發展學生用文字語言、符號語言等數學語言表達世界的基本素養。通過
二分法的無限逼近，首次讓學生體會逐漸逼近的極限思想；將區間一分為二，通過確定零點的存在位置，重點培養學生的數據分析素養，邏輯推理素養等。
探究3：一定要二分嗎？有沒有別的方法？比如3分4分甚至十等分呢？ 課堂活動：分組討論
學生發現：理論上可以，但是很麻煩。
教師小結：當然可以，但是就是比較麻煩，不方便，事實上，約在1247年南宋時代，
我國數學家秦九韶提出了一種解決高次函數零點近似解的一種方法，他將區間十等分，算出各分點的函數值，縮小零點所在區間，但這種方法計算冗長，不便于精確度較高的運算，如果精確度要求不高，例如要求到0.1，可以使用，另外這種方法在有的國家被稱為霍耐法（Horner），英國數學家霍耐1819年才發現，遲于我國500多年。
設計意圖：通過對其他方法的比較，讓學生感受二分法的優點：簡單方便易操作，
同時滲透對數學文化的關注，培養學生直觀想象素養，邏輯推理素養等。 探究4：用二分法求函數3()1fxxx的零點（精確度為0.1）。 教師提問：函數3()1fxxx有沒有零點？如果有，有幾個？ 學生發現：該函數在R上單調遞增。
教師追問：在R上單調遞增的函數一定有一個零點嗎？ 課堂活動：學生分組討論。
學生發現：不一定，比如反比例函數。
教師追問：非常好，那什么情況下單調的函數有一個零點呢？ 學生發現：要找到異號的兩端。
教師追問：對于函數3()1fxxx，你能否找到異號的區間？
學生發現：[0，1].
設計意圖：教師通過追問的方式對同一函數從根的存在性問題深入到初始區間的求
法，思路自然，引起學生認知沖突，激起學生進一步探究的欲望。問題是數學的“心臟”，是數學知識、能力發展的生長點和思維的動力，把問題作為教學出發點，創設學生熟悉的問題，構造認知沖突和懸念，有利于培養學生的邏輯推理素養，直觀想象素養等。
課堂活動：教師和學生一起完成表格，體會用二分法求解函數零點近似解的過程，
并在黑板畫上畫上數軸幫助學生理解。
教師提問：數軸越畫越短，誰能告訴我，什么時候終止計算？ 學生發現：題目有精確度的要求？ 教師追問：精確度為0.1要怎么用呢？ 學生發現：算到區間長度小于0.1即可。 教師追問：為什么？
課堂活動：教師黑板上畫出數軸講解精確度的含義。
x
xo b
x a
oxxba
精確度為0.1即指誤差不超過0.1，當區間長度小于0.1時，區間內的
任意一個值都可以作為近似值，為了方便，我們一般取區間端點。
設計意圖：利用多媒體輔助教學有利于完善學生認知，深刻體驗二分法思想的本質，
為學生自身總結歸納步驟奠定基礎，并且提高教學效率。利用動態演示展現二分法的全過程，使學生的感官受到強烈的沖擊，加深對二分法的理解。利用數軸畫圖出簡圖來輔助說明，理解為求得方程更為精確的近似解，直觀上就是去探求零點所處的更小的范圍，即求方程近似解的問題可以轉化為不斷縮小零點所在范圍或區間的問題。培養學生的直觀想象素養，數據分析素養，邏輯推理素養，數學運算素養等。
教師提問：如果精確度改為0.01呢？ 學生發現：再算。
教師提問：想不想算？ 學生發現：不想。
教師提問：我們請個小幫手。注意到剛才求解的過程中，一直重復地完成一些步驟：
取中點，算中點函數值，定區間。像這種一直重復性的過程可以交給誰來完成？
學生發現：電腦。
課堂活動：教師展示一個由高一同學編寫的用二分法求函數零點近似解的小程序。 設計意圖：借助程序，調動學生的積極性，讓學生感受二分法的一大優點：易于編程，
讓計算機執行。將信息技術與數學課程相結合，鼓勵學生運用計算機、計算器等進行探索和發現。實驗過程中，隨著實驗次數逐漸增加，零點存在區間逐漸逼近準確解，讓學生感受無限逼近的極限思想；讓學生發現，隨著實驗次數的逐漸增加，零點的近似解就越接近精確解，估計就越準確，感受精確與近似的對立統一；算法可以解決一類問題，節約了大量的時間，使學生對二分法的算法思想與計算原理有新的感受；樹立榜樣作用，激發學生的求知欲。培養學生的邏輯推理素養，數據分析素養等。
教師提問：如果終止計算的條件該為精確到呢？
課堂活動：教師和學生一起分析精確到到精確度的區別。
設計意圖：幫助學生區分精確到與精確度，雖然兩者都是用來終止計算的，但是要求
不同。有助于培養學生的數據分析素養，數學運算素養，邏輯推理素養等。
（3）歸納總結，揭示新知
教師提問：回顧剛才整個過程，給定精確度，嘗試歸納用二分法求函數零點近似解的
步驟？
學生發現：確定初始區間，取中點，算中點函數值，縮小區間，再取中點。。。。 教師提問：有沒有可能當你第一次縮小區間后發現，已經算完了？ 學生發現：有可能。
課堂活動：教師PPT上給出完整步驟。并給出用數學語言表示的步驟。
用二分法求方程的近似解一般步驟
1.確定區間[a,b]，驗證f(a)·f(b)<0,給定精確度ε；
2.求區間(a,b)的中點c； 3.計算f(c)；
(1)若f(c)=0，則c就是函數的零點；
(2)若f(a)· f(c)<0，則令b=c（此時零點x0∈(a, c) ); (3)若f(c)· f(b)<0，則令a=c（此時零點x0∈( c, b) ).
4.判斷是否達到精確度ε:即若|a-b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復步驟2—4．
設計意圖：發展學生用文字語言、符號語言等數學語言表達世界的基本素養。培養學
生數學建模素養，數據分析素養，邏輯推理素養等。
（4）概念拓展，實踐鞏固
課堂活動:用二分法求函數2()1fxxx的正零點（精確到0.1）。同桌兩人一組，一人用計算器算，一人填寫課前發好的表格。最快的一組上來投影展示。 設計意圖：鼓勵學生自行嘗試,讓學生體驗解題遇阻時的困惑以及解決問題的成就感。
讓學生體會用二分法來求方程近似解的完整過程,進一步鞏固二分法的思想方法。培養學生直觀想象素養，數學建模素養，邏輯推理素養，數據分析素養，數學運算素養。
課堂活動：在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路的某一處
發生了故障，這是一條10km長的線路，請你用二分法算一算：要把故障可能發生的范圍縮小到50～100m左右，要檢查多少次？
設計意圖：首尾呼應，學以致用，培養學生應用與創新的能力，利用二分法的逼近思
想解決實際問題。發展學生的數學應用意識，發展學生的數學建模素養，數學運算素養，數據分析素養等。
（5）課堂小結，作業創新
教師提問：這節課我們都學了哪些知識？
學生發現：二分法的定義，用二分法求方程近似解的步驟。
課堂活動：PPT展示二分法的口訣：定區間，找中點，中值計算兩邊看；同號去，異
號算，零點落在異號間；周而復始怎么辦？精確度上來判斷。對本節課體現的數學思想和核心素養進行總結。
設計意圖：通過總結,培養學生數學交流和表達的能力,養成及時總結的良好習慣,并將
所學知識納入已有的認知結構。同時讓學生知道理解二分法定義是關鍵,掌握二分法解題的步驟是前提,實際應用是深化。培養學生數學建模素養等。
課堂活動：PPT展示今天作業：(1) P74/A1,2. (2)P81/閱讀與欣賞“數學文化”。
(3) 研究性作業：利用Internet查找有關資料, 查閱牛頓法、華羅庚優選法等其他求函數零點的方法，上交小報告。
設計意圖：在作業中提出對“數學文化”的學習要求，讓學生通過自主查閱，閱讀自
學等學習數學的方式，提高學生學習的主動性，逐步形成正確的數學觀，實現教師引導下的“再創造”。在完成作業的過程中，有力培養了學生的直觀想象素養，數學建模素養，數據分析素養，邏輯推理素養等。
七、評價和說明
1、這節課安排了創設情境，提出問題；合作探究，解決問題；歸納總結，揭示新知； 概念拓展，實踐鞏固；課堂小結，作業創新等環節。整堂課圍繞等價轉化、函數
與方程、數形結合以及無限逼近的數學思想方法來展開，著重培養了學生的直觀 現象素養，數學建模素養，邏輯推理素養以及數據分析素養等。
2、本設計注意應用建構主義的數學學習理論，引導認知主體積極參與到探索、發現、 討論、交流的學習活動中去，使課堂教學成為學生親自參與的充滿豐富生動的數學思想場所。
3、教學中注重數學課程和信息技術的整合，畫面豐富生動，使學生的多種感官獲得 外部刺激，有利于完善認知結構，提高教學效率。
4、時間大致安排：創設情境，提出問題約7分鐘，合作探究，解決問題約20分鐘， 歸納總結、揭示新知約5分鐘，概念拓展，實踐鞏固約10分鐘，課堂小結，作業 創新約3分鐘，依據上課的具體情況可進行適當的調整。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
