視頻簡介：
視頻標簽：任意角
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學1.1.1《任意角的概念 角的概念的擴充》安徽
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《任意角的概念》教學設計
吾愛吾師，吾更愛真理。----亞里士多德
內容分析：任意角的概念既是初中角的概念推廣,也是刻畫現實世界中周期性現象的數學模型,它是學習任意角三角函數的基礎，具有開啟全章，承前啟后作用。概念建立過程中隱含的抽象、歸納、概括、類比、數形結合、分類討論等數學思想方法和思維方法有助于學生數學素養的提升。
二、學情分析
1.教學對象：高一學生
2.認知上：學生頭腦中已經有角的概念，但局限在不超過360°的正角。
3.能力上：學生缺乏從現實背景中抽象、歸納出數學概念的能力，需要教師給予認知策略與方法的指導。
4.情感上：思維活躍，做事拖拉，較粗心，多數學生不大喜歡數學，甚至害怕數學，對學好數學缺乏足夠的信心。
三、目標分析
1、知識與技能
（1）推廣角的概念、引入大于360°角和負角；（2）理解并掌握正角、負角、零角的定義；（3）理解任意角以及象限角的概念；（4）樹立運動變化觀點，深刻理解推廣后的角的概念；（5）揭示知識背景，引發學生學習興趣.（6）創設問題情景，激發學生分析、探求的學習態度，強化學生的參與意識.
2、過程與方法
通過創設情境：“轉體720°，逆（順）時針旋轉”，角有大于360°角、零角和旋轉方向不同所形成的角等，引入正角、負角和零角的概念；角的概念得到推廣以后，將角放入平面直角坐標系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；；講解例題，總結方法，鞏固練習.
3、情態與價值
通過本節的學習，使同學們對角的概念有了一個新的認識，即有正角、負角和零角之分.角的概念推廣以后，知道角之間的關系.理解掌握終邊相同角的表示方法，學會運用運動變化的觀點認識事物.
4.教學重難點：
（1）教學重點：角的概念的擴充過程，任意角的概念，象限角
（2）教學難點：角的概念的擴充過程，任意角的概念；
5．教學準備：
課前準備：鐘表，三角板，多媒體課件等；
四、教學過程
一：復習回顧，概念導入
初中角的定義：
①從一個點出發引出的兩條射線構成的幾何圖形
②也可以說角是由平面內一條射線繞其端點從一個位置旋轉到另一個位置所組成的圖形
歷史上的角：
一條直線，如果彎曲，但依然連續，它就產生一個角
-------亞里士多德
平面角，是在一個平面內但不在一條直線上的兩條相交線相互的傾斜率，當包含角的兩條線都是直線時，這個角叫做直線角
---- 歐幾里得
教師活動：提問
學生活動：學生思考回答
設計意圖：通過復習，幫助學生回憶初中角的定義，通過數學史的滲透，讓學生了解角的發展歷史。
二、概念導入
問題1：
1、 時針撥快一小時，分針轉多少度
2、時針撥快兩小時，分鐘轉動多少度？
3、時針撥慢一小時，分針轉動多少度？和時針撥快一小時，分針轉的角度一樣 嗎？
問題2：你能舉出生產生活中其它大于360°的角嗎？
摩天輪旋轉所形成的角、旋轉木馬旋轉所成的角等。
設計意圖：讓學生通過大量的具體例子感覺到角可以任意大。
問題3：請你用扳手將螺母轉動30°角，請問此時螺母轉緊了還是轉松了？
設計意圖：讓學生意識到，這里有兩種情況，需要區分角的旋轉方向。
問題4：你能舉出生產生活中其它需要區分旋轉方向的角嗎？你能從數學角度刻畫這些角嗎？
教師活動：提出問題啟發引導學生思考，開展小組討論，在學生充分討論。
學生活動：自主探究，小組討論，觀察，歸納，類比，分析。
設計意圖：通過學生熟悉的例子，構建數學模型與現實模型之間轉換,有助于概念建立。讓學生認識到角不僅可以任意大，也可以任意小，并類比實數建立負角的概念。進而指出：數學上通常規定逆時針方向旋轉所成的角為正角，順時針方向旋轉所成的角為負角。
問題5：剛才這個角的概念還有值得完善的地方嗎？
設計說明: 類比數有正數、負數、零，讓學生認識到角也應該有正角、負角、零角。進而通過師生討論明確：數學上規定當射線沒有旋轉時，也可以認為形成一個角，這個角就是零角。
設計意圖：以生產生活問題入手并類比實數得出任意角概念的方式重在讓學生感受角來自現實，高于現實。
三、概念形成：
1.角的定義：平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形。
2,角的構成要素:
規定：按逆時針方向旋轉所形成的角叫做正角
按順時針方向旋轉所形成的角叫做負角
問題6：如何表示任意角？
教師活動:提出問題，啟發引導學生回顧初中角的表示方法得出任意角的表示。
學生活動：思考，討論，歸納，概括。
設計意圖：讓學生通過討論明白：應用弧線表示角的大小,用箭頭表示角的旋轉方向，旨在更好的理解任意角的概念。
問題7：面對龐大的角的家族，我們又該如何更好地研究它？
設計意圖：讓學生認識到，為了研究方便，需要建立象限角、界限角的概念。
教師引導學生思考：我們曾借助數軸研究數，借助直角坐標系研究點和曲線,那我們又該借助什么工具研究角呢？
教師活動:提出問題,要求學生思考,討論,交流,發表見解；借助多媒體展示角在象限中如何放置。
學生活動：思考,觀察,類比,分析。
象限角的概念：為了研究方便，經常在平面直角坐標系中研究角。將角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的正半軸重合。終邊在哪個象限就是第幾象限的角。
教師活動:給出概念,并且追問那90度呢？完善概念。
學生活動：思考,討論,交流，歸納。
設計意圖：讓學生通過討論認識到：如果把角放在直角坐標系中，并使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，那么我們研究角時就有了統一標準。
四：概念深化
練習1：
判斷下列說法是否正確,如果錯，請舉例說明理由：
①第一象限的角一定是銳角；②銳角一定是第一象限角；
③小于
的角一定是銳角；④第一象限角一定是正角；
⑤一條射線沒有作任何旋轉時,則沒有形成角；
⑥第二象限角比第一象限角大。
教師活動：要求學生先獨立思考，再組內合作討論，
學生活動：獨立思考，討論交流，踴躍發言，生生之間相互提問答辯，知識內化。
設計意圖：這種師生互動，生生互動方式能夠幫助學生厘清概念的內涵和外延，完善認知圖式。
練習2：
在直角坐標系中分別畫出下列各角，并指出它們是第幾象限角
390°；30°；270°；－330°； －45°；－300°;
教師活動：要求學生獨立在圖紙上規范畫圖，后部分學生作品匯報，教師對學生作品進行點評，然后對學生在象限中畫角步驟進行歸納點評。
學生活動：動手畫圖。
設計意圖：獨立畫圖，組內自評，借助信息技術進行校對，提高課堂有效性。
練習3：你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準的？假如你的手表快了1.25小時，你將如何將它校準？當時間校準后分針旋轉了多少度？
練習4：將射線OA先逆時針旋轉30°
-
再逆時針時針旋轉80°，形成的角是多少度？
-
如果在第一問的基礎上，再順時針旋轉120°，則形成的角是多少度？
教師活動：要求學生獨立思考，合作交流，匯報反饋，教師加以歸納點評。
學生活動：思考，交流，展示。
設計意圖：以貼近生活走進專業方式感受數學服務于現實，數學知識的價值魅力。
五：回顧反思 拓展概念
知識：
方法：抽象、歸納、概括、類比、分類討論等；
學生活動：獨立思考，分組討論,交流發表。
設計意圖:由學生自己總結,調動學生積極性,再次加深對任意角的概念理解,同時也培養了歸納概括能力,養成反思的習慣。
作業：
1、預習終邊相同角的概念
2、拓展作業： 查找資料，了解角的擴充過程。
3.板書設計：
投影
屏幕 |
1.1.1任意角的概念
1.任意角
2.象限角
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板演區 |
設計意圖：板書簡單明了，體現教學意圖,突出教學重點。留下足夠空間有助于學生發揮和創造力培養。
六、教學反思
（ 一） 設置情境， 注重適切性
鄭毓信教授認為： 一個好的問題情境除了能夠激發學生的學習興趣外， 應在課程的進一步展開中對學生的數學認知起到導向作用， 而不僅僅是“敲門磚” 而已.即應當成為相關學習活動的“認知基礎” .本節課中， 筆者設置了兩個不同形式的情境：一是多媒體的展示， 強調規覺形象； 二是時鐘的調整實驗， 強調動手操作.這為學生提供了豐富的“角” 的生活場景， 在輕松愉悅的氣氛中引發學生抽象出數學概念， 發現數學問題同時， 分針撥快撥慢的兩次不同旋轉、 跳水運動員翻轉，給學生留下“所形成的角也不同”的深刻印象.這樣的情境設置不僅起到課題引入的作用， 也為定義任意角、 刻畫任意角做了厚重的鋪墊.
（ 二） 設計問題， 注重思維性
數學是思維的科學， 發展學生思維和智慧是數學教育的重要任務， 關注學生的發展是課堂的首要目標.問題是數學的心臟， 思維從問題開始， 思維活動又形成新的問題， 這種遞進式的設問過程為學生的主動學習搭起了支架.本節課從實際生活情境出發， 讓學生自主發現其中的數學元素、 提出數學問題； 并類比數的發展過程，探究對角的范圍進行擴充； 得到任意角的概念后， 自然涉及任意角的表示方法， 而在表示過程中又出現了新的問題……問題的設計環環相扣， 不斷促進思維的深入.整個過程中教師始終處亍引導地位， 合理放手， 讓學生自主探究、 合作認論， 展示交流， 親身體驗知識的生成過程， 領悟數學發現的魅力， 既有學生的獨立思考， 又有相互協作， 既有合情的方法， 又有合理的質疑， 概念在對話中清晰而深入， 思維在思辨中錘煉而升華.
（ 三） 制訂活動， 注重過程性
數學學習應該是一個慢中求悟、 自然生成、 探究推理的過程.所以，本節課我把內容設定在任意角概念的擴充和象限角，而舍棄了終邊相同角的內容，目的就是能讓學生親歷知識的發生發展感受角的概念的擴充過程， 教學力求樸實無華.課題的引入要以學生已有的知識為起點， 樸素地追問現實中的數學問題.探究過程要自然地逼近數學本質， 為了達到有效， 需要把復雜的問題分解成幾個簡單的、 易于處理的問題， 使活動始終貼近學生的數學現實， 處亍他們的最近發展區， 讓學生在自我發現、 自主探究、動手實踐、 合作交流中的過程中感受知識和方法， 通過探究知識的發生發展過程， 增強學生的認知力， 從獲得知識到擁有智慧.學生只有經歷了質疑、 判斷、 比較、 選擇，以及相應的分析、 綜合、 概括等認知活動， 感受多種觀點的碰撞、 論爭和比較， 才能真正理解和鞏固所學知識， 從而使創新精神和創新思維的培養落到實處.
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