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視頻課題：高中“新課程新教材”跨區域教學展示交流課教學展示《正弦函數、余弦函數的圖象》鄭州市第二高級中學 馬
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高中“新課程新教材”跨區域教學展示交流課教學展示《正弦函數、余弦函數的圖象》鄭州市第二高級中學 馬
5.4.1正弦函數、余弦函數的圖象教學設計
一、內容和內容解析
1.內容
正弦函數、余弦函數的圖象，以及正弦函數、余弦函數圖象的畫法．
2.內容解析
正弦函數、余弦函數是一類基本初等函數，對于它們的研究基本遵從函數圖象與性質的研究思路，可以類比、對比指數函數、對數函數等展開研究：
繪制函數圖象—觀察圖象、發現性質—證明性質．
首先是關于正弦函數的圖象，繪制一個新函數圖象的基本方法是描點法，如果能多描出一些點，那么就可以使繪制的圖象更精確．但是正弦函數在
內，如何實現繪制的精確度呢？這是首先要解決的問題．
為此，先解決精準繪制某一個點
，
的問題，此處關鍵是要理解橫坐標的意義，其本質在于對三角函數定義的理解：根據正弦函數的定義可知，在單位圓中，點
的橫坐標
的本質是以
為始邊，以
為終邊的角，因此，
，如圖1所示．過點
作
x軸，垂足為
，則線段
的長即為
，于是對于任意一個橫坐標，其縱坐標可以用幾何方法精準描出．
圖1
精準繪制一個點的問題解決之后，即可用相同的方法描出其他的點，進而描出正弦函數在一個周期內的圖象，并通過平移描出正弦函數的圖象．這個過程充分體現了從特殊到一般的研究方法．
在此基礎上，通過平移變換，畫出余弦函數圖象．
基于以上分析，確定本課時的教學重點：正弦函數、余弦函數的圖象．
二、目標和目標解析
1.目標
|
課程目標 |
學科素養 |
|
1.通過對單位圓和正、余弦函數定義的復習回顧，探索正弦函數圖象的畫法； |
a.數學抽象：由“五點法”作正弦、余弦函數的圖象； |
|
2.通過觀察函數圖象特征，探索出用“五點法”畫正弦函數的圖象； |
b.邏輯推理：由正弦函數圖象作出余弦函數圖象； |
|
3.通過研究正、余弦函數圖象間的關系，探究余弦函數圖象的畫法. |
C直觀想象：運用函數圖象分析問題. |
2.目標解析
達成上述目標的標志是：
（1）學生能先根據正弦函數的定義繪制一個點，再繪制正弦函數在一個周期
內的圖象，最后通過平移得到正弦函數的圖象；能說出正弦函數圖象的特點，并能用五點法繪制正弦函數的圖象．
（2）學生能用圖象變換的方法，由正弦函數的圖象繪制余弦函數的圖象，并能就一個具體的點清晰地解釋圖象的變換方式及原因，能用“五點法”繪制余弦函數的圖象．
三、教學問題診斷分析
學生之前擁有豐富的繪制函數圖象的經驗，但是利用定義的幾何意義繪制函數圖象是第一次，因此在思維習慣上存在障礙，教學時要給予充分的引導，特別強調要準確地繪制出兩函數的圖象這一要求，讓學生感受到這種做法的困難，然后從三角函數的定義上分析點的坐標的幾何意義，讓學生真正理解．
繪制函數圖象任意一點的操作存在困難．為此，可以先選定一個角
，然后找到角
的始邊OA繞點O逆時針旋轉得到的弧
，平移弧
使點
與原點
重合，將弧
拉直為線段且與x軸重合，此時點B所對應的位置為(
，于是圖象上的點
隨之確定．
本課時的教學難點是：掌握準確繪制函數圖象一個點的方法，并由此繪制出正弦函數的圖象．
四、教學支持條件分析
繪制正弦函數圖象的關鍵是準確地繪制圖象上的一個點，為此可讓學生利用信息技術完成．
后續讓學生描出其他的點，并連線描出正弦函數在一個周期內的圖象時，同樣可以利用信息技術完成．
五、教學過程設計
（一）復習導入
1.正弦函數、余弦函數的定義？
設
是一個任意角，
，它的終邊OP與單位圓相交于點P
-
把點P的縱坐標y叫做的正弦函數，記作
，即
；
-
把點P的橫坐標
叫做的余弦函數，記作
，即
.
2.函數的研究路徑方法？
2’ 三角函數的研究過程：
（二）新知探索一：函數
的圖象
問題1：從公式一中你可以發現函數值有什么樣的變化規律？
師生活動：教師提出問題，學生通過回憶單位圓和正弦函數的定義，師生共同交流、規劃，完善方案預設的答案如下：
由公式一：
可知，角
的終邊繞原點旋轉一周，函數值將重復出現，回到單位圓可發現角
的終邊每繞原點旋轉一周終邊與單位圓的交點的縱坐標不變，據此，可以簡化對正弦函數圖象的研究過程，比如可以先畫函數
的圖象，再畫正弦函數
的圖象．
設計意圖：1.規劃研究方案，構建本課時的研究路徑，從特殊到一般，數形結合，從整體上掌握整個課時的學習進程，形成整體觀念．
問題2：如何準確繪制點
？若在
上任取一個值，你能確定正弦函數值
嗎？
在平面直角坐標系中畫出以原點為圓心的單位圓，單位圓與x軸正半軸的交點為A(1,0)，在單位圓上，將點A繞著點O旋轉弧度至點B，根據正弦函數的定義，此時點B的縱坐標即為
，所以我們可以以角
所對的弧長為橫坐標，以
為縱坐標，就可以得到函數圖象上的一個點
.
師生活動：教師引導學生，借助單位圓并根據正弦函數定義分析確定
，
的幾何意義。學生思考后，教師利用信息技術嘗試繪制這一點。
設計意圖：教師引導學生剖析一個點的畫法，深化對正弦函數定義的理解．通過分析點的坐標的幾何意義，準確描點．
問題3：我們已經學會繪制正弦函數圖象上的某一個點，那么，你能畫出
,
的圖象嗎？
方案1：在區間
內任取一些橫坐標的值，按照上述方法逐一繪制，再用光滑的曲線連接．
方案2：在
取12等分點，使
的值分別為0，
，
，
…，一直到
，它們所對應的角的終邊與單位圓的交點將圓周12等分，再按上述畫點
的方法，就可畫出自變量取這些值時對應的函數圖象上的點.
師生活動：（兩種方法本質相同，在信息技術條件支持下都容易實現，在手工操作的條件下，用方案2比較可行）．學生用方案2繪制函數圖象，教師借助信息技術，繪制函數圖象．
設計意圖：確定畫出一個周期內正弦函數圖象的方法并實施，同時體會信息技術給數學研究帶來的便捷．
問題4：根據函數
的圖象，你能想象函數
的圖象嗎？
預設的答案：根據公式一，可知函數
的圖象與
的圖象形狀完全一致．因此將函數
的圖象不斷向左、向右平移（每次移動
個單位長度），就可以得到正弦函數
的圖象，如圖2所示．
師生活動：學生畫圖，教師予以指導．
圖2
教師指出，正弦函數的圖象叫做正弦曲線，是一條“波浪起伏”的連續光滑曲線．
設計意圖：繪制函數
的圖象．
問題5：在確定正弦函數在的圖象形狀時，應抓住哪些關鍵點？
師生活動：對于函數的研究，能夠快速又比較準確的作出它的簡圖往往起著特別重要的作用。教師提出問題，引導學生觀察圖2，并說出他們的想法．
預設的答案：觀察圖2，在函數
的圖象上，五個點
在確定圖象形狀時起關鍵作用．因此只要描出這五個點，按照正弦函數圖象的走勢，并用光滑的曲線將之連接就可以畫出函數的簡圖，稱為“五點法”
教師指出，今后在精確度要求不太高時，常常先找出這五個關鍵點，用光滑的曲線將他們連接起來即可得到正弦函數的簡圖，我們把這種方法稱為“五點（作圖）法”.
設計意圖：觀察函數圖象，概括其特征，獲得“五點法”畫圖的簡便畫法．
（三）新知探索二：函數
的圖象
問題1：借助正弦函數的圖象，通過怎樣的圖象變換，才能將正弦函數的圖象變換為余弦函數的圖象？
師生活動：學生先用排除法觀察誘導公式，選擇簡潔的公式，作為正弦函數、余弦函數關系研究的依據，教師引導學生通過比較進行選擇．從數的角度看，可以選擇關系
．記
，則
．因此函數
的圖象，可以看作將函數
的圖象上的點向左平移
個單位得到．如圖3所示：
圖3
教師指出，余弦函數
，的圖象叫做余弦曲線．它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪起伏”的連續光滑曲線．
設計意圖：利用誘導公式，通過圖象變換，由正弦函數的圖象獲得余弦函數圖象；增強對兩個函數圖象之間的聯系性的認識．
問題2：利用“五點法”找出余弦函數在[0，2π]上相應的五個關鍵點，然后畫出
，
的簡圖.
師生活動：學生找點畫圖，教師予以指導.
設計意圖：觀察余弦函數圖象，掌握其特征，掌握“五點法”．
問題3：如果畫出余弦函數在[−π，π]上的圖象，應該找出哪五個關鍵點呢？
五個關鍵點：
師生活動：學生口頭說出五個關鍵點的坐標，教師予以肯定.
設計意圖：找出五個關鍵點的特征：最高點、最低點、函數圖象與
軸的交點。熟練掌握“五點法”作正弦、余弦函數圖象．
（四）例題精講
例：畫出下列函數的簡圖：
（1）
，
；
（2）
，
．
師生活動：學生先獨立完成，然后就解題思路和結果進行投影展示交流，教師點評并給出規范的解答．
解：（1）按五個關鍵點列表：
描點并將它們用光滑的曲線連接起來（圖4）：
圖4
（2）按五個關鍵點列表：
|
x |
0 |
 |
 |
 |
 |
 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
圖5
設計意圖：鞏固學生對正弦函數、余弦函數圖象特征的掌握，熟練“五點法”畫圖，掌握畫圖的基本技能．通過分析圖象變換，深化對函數圖象關系的理解，并為后續的學習作好鋪墊．
（五）課堂小結
教師引導學生回顧本節課的學習內容：
正弦函數、余弦函數的作法：①描點法（五點法），②圖象變換法
設計意圖：通過小結，復習鞏固本節課所學的知識，加深對正弦函數、余弦函數圖象的理解．
（六）布置作業
基礎鞏固：課本200頁練習1-4題；
創新探究：類比以往對函數性質的研究，觀察正弦函數、余弦函數的圖象，你能發現它們具有哪些性質？
設計意圖：1.考查學生對正弦函數、余弦函數圖象的基本特征的掌握程度，是否會利用“五點法”作圖．
2.為下一節的“正弦函數、余弦函數的性質”做鋪墊.
七、教學反思
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