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視頻標簽：基本不等式及其應用
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學滬教課標版高一上冊第2章不等式2.4 基本不等式及其應用課題一 最大容積問題_上海師范大學附屬中學
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高中數學滬教課標版高一上冊第2章不等式2.4 基本不等式及其應用課題一 最大容積問題_上海師范大學附屬中學
課題一 最大容積問題
一、學習任務分析 1.1 教材總體內容
本課位于滬教版高一年級第一學期第二章《不等式》的第4節“基本不等式及其應用”學習之后，第五節“不等式的證明”之前，是探究與實踐課題.本課是建立在學生熟練掌握兩個基本不等式，并能用來解決最值問題的基礎上，繼續使用化歸、類比、歸納、猜測的方法來探究三個正實數的算術——幾何平均數不等式的應用，有助于學生解決實際問題.
1.2 本課時教材內容結構
橫向比較三套教材中本課時的內容結構：（1）滬教版：用正方形紙制成無蓋長方體→用剪去小正方形變長x表示長方體容積V→類比兩個正實數的均值不等式類比猜想三個正實數的結論→證明猜想的正確性→求解容積最大值.該教材內容結構的主干是：情境引入→函數建模→類比猜想→檢驗證明→問題解決.
（2） 人教版選修4：類比兩個正實數的均值不等式類比猜想三個正實數的結論→作差法證明→例題1 變式證明→例題2 求無蓋長方體的最大容積.該教材內容結構的主干是：類比猜想→檢驗證明→定理應用.
（3）蘇教版七年級上冊：正方形紙折成無蓋長方體→用a，b來表示長方體容積→計算不同a，b時對應的容積值→觀察數據歸納長方體容積最大值. 該教材內容結構的主干是：情境引入→函數建模→數學實驗→歸納規律.
1.3本課時在教材章節中內容的結構
1.4 不等式背景分析
（1）本章常涉及的思想方法有：類比推廣，特殊到一般，數形結合，轉化與化歸思想等； （2）讓學生深刻體會不等式、方程和函數之間的關系.；
（3）讓學生親身經歷講實際問題抽象成數學模型并加以解決的全過程； （4）讓學生熟練掌握一些基本方法證明簡單的不等式.
1.5 功能分析
（1）智力價值：有利于領會轉化化歸、類比猜想等思想方法；借助數學實驗，有利于領會
2
數形結合的思想；有利于培養會分析問題、解決問題的基能力； （2）應用價值：提高運用基本不等式的應用能力； （3）教育價值：提升學生思維能力.
1.6 本課時的知識結構
基本不等式2→三個正實數的均值不等式→不等式證明→三個正實數的均值不等式的應用
二、學情分析 2.1 預備知識分析
學生理解不等式的性質，會解一元二次不等式以及其他不等式，會抽象一些簡單的實際問題為數學問題，熟練掌握兩個基本不等式，并能用來解決最值問題.
2.2 學習心理分析
動手操作的愿望強，有一定數學實驗的能力；有一定的空間想象能力；有一定的分析問題能力；數學思維不夠嚴密；運算和證明能力有所欠缺；學習數學缺乏創造性和批判性.
2.3 達成目標分析
（1）通過數學實驗，引導學生更直觀地類比猜測結論；
（2）通過情景問題的變式，學會利用基本不等式求最值問題的轉化與變形方法； （3）解決實際問題，培養學生學習數學的興趣.
2.4 學習重點與難點
重點：在問題解決過程中，經歷數學建模，領會轉化與化歸思想； 難點：三個正實數的算術——幾何平均數不等式的應用.
三、學習目標分析 3.1 教學目標分析
（1）類比猜想、理解掌握、熟練應用三個正實數算數—幾何平均數不等式； （2）體會特殊到一般、用數學知識解決實際問題的過程與方法； （3）通過建模將實際問題轉化為數學問題，提高學習數學的興趣.
3.2 本節課認知結構
感知（問題提出）→想象（探究新知）→概括（明確命題）→ 固化（命題證明）→應用（命題應用）→結構（概念結構）
四、制定教學主線
五、設計實施路徑
3
六、選擇教學媒體
DIMA平臺（計算器，教學軟件Geogebra，電子白板，實時交互的網絡環境）
七、安排教學環節
課前準備→問題提出→探究新知→問題解決→問題再探→課堂小結→課后評測
八、選取學習素材 （1）書本例題變式；
（2）相關數學教學期刊雜志.
九、安排教學活動 教學 環節
教師活動
學生活動
設計意圖 課前
準備
發放學案，準備每人一張邊長為20厘米的正方形紙. 完成學案第一頁，
用正方形紙折一個
無蓋立方體.
課前預習，
動手操作，激發學生興趣.
問題提出 每組準備一張邊長為20厘米的正方形紙，在它的四個角各剪去一個小正方形后，再折成一只無蓋的盒子.（不妨設剪去的小正方形的邊長為 厘米
折紙，
標出盒子的長寬高
經歷從平面到立體的過程，尋找對應元素的關系. 如果要使得制成的盒子的容積最大，那么剪去的小正方形的邊長應為多少厘米？（用x來表示盒子的
容積V）
學生建模
構建合適模型， 解決實際問題. 使用函數的數據表和Geogebra軟件函數繪圖，引導學生猜測結論.
使用計算器TABLE功能，猜測結論 數形結合， 猜測結論.
探究新知 帶領學生回憶基本不等式2，包括等號成立條件，文字敘述，應用，幾何意義，以及注意事項.
復習基本不等式的相關概念
回顧相關概念.
4
引導學生類比猜測三個正實數的相關結論.
用類比的方法將基本不等式從二元推廣到三元，甚至N元的情況.
類比猜想. 積為定值， 和有最小值； 和為定值， 積有最大值. 給出兩種證明方法，分析并講解. 理解兩種證明
通過轉化思想，把無理不等式轉化為整式不等式，為下節課不等式證明的作差法鋪墊. 問題
解決 有一張邊長為20厘米的正方形紙，在它的四個角各剪去一個小正方形后，再折成一只無蓋的盒子. 如果要使制成的盒子的容積最大，那么剪去的小正方形的邊長應為多少厘米？
使用三個正實數的幾何—算術平均數不等式解決問題
本題考察學生對不等式的應用.
變式：有一張邊長為80厘米，寬為50厘米的長方
形紙，在它的四個角各剪去一個小正方形后，再折成一只無蓋的盒子. 如果要使得制成的盒子的容積最大，那么剪去的小正方形的邊長應為多少厘米.
使用三個正實數的幾何—算術平均數不等式解決問題 由于沒有注意到取等情況，會產生錯誤，再次強調注意事項.
問題再探
講解兩種不浪費材料的剪裁正方形紙的方式.
學生求解制成無蓋盒子的容積，并觀察兩種模型下，比較盒子的容積. 打破固定思維， 合理引出不浪費材料的模型最優. 如果邊長為20厘米的正方形紙的材料都用盡，盒子的最大容積是多少？
使用三個正實數的幾何—算術平均數不等式解決問題 經歷特殊到一般， 得到理論上容積最大的情況. 課堂
小結
展示學生課前折紙作品.
學生暢談課堂收獲
總結回顧.
十、設計評價方式
課前學案、課堂提問、課后學習評價表
課程自評表
班級： 姓名： 學號： 學習主題
學習表現 水平程度（相應的括號打√）
最大容積問題
課前預習
自評：認真（ ）；一般（ ）；沒興趣（ ） 互評：認真（ ）；一般（ ）；沒興趣（ ） 課前參與程度 自評：認真（ ）；一般（ ）；沒興趣（ ） 互評：認真（ ）；一般（ ）；沒興趣（ ） 小組合作交流效果
自評：認真（ ）；一般（ ）；沒興趣（ ） 互評：認真（ ）；一般（ ）；沒興趣（ ）
5
實驗猜測參與程度 自評：認真（ ）；一般（ ）；沒興趣（ ） 互評：認真（ ）；一般（ ）；沒興趣（ ） 類比推廣參與度 自評：認真（ ）；一般（ ）；沒興趣（ ） 互評：認真（ ）；一般（ ）；沒興趣（ ） 課堂練習解決情況 自評：認真（ ）；一般（ ）；沒興趣（ ） 互評：認真（ ）；一般（ ）；沒興趣（ ） 課后探究反思意識
自評：認真（ ）；一般（ ）；沒興趣（ ） 互評：認真（ ）；一般（ ）；沒興趣（ ）
課程評價表
學習主題
課堂形式 水平層次（相應的括號打√）
最大容積
問題
課題興趣程度 頗感興趣（ ）；一般（ ）；沒興趣（ ） 教學環境（未來教室） 喜歡（ ）；一般（ ）；不喜歡（ ） 教學工具（計算器）
喜歡（ ）；一般（ ）；不喜歡（ ）
教學工具（GGB軟件） 喜歡（ ）；一般（ ）；不喜歡（ ） 教學工具（電子白板） 喜歡（ ）；一般（ ）；不喜歡（ ） 教學工具（拍照投影） 喜歡（ ）；一般（ ）；不喜歡（ ） 合作學習形式 頗感興趣（ ）；一般（ ）；沒興趣（ ） 課程收獲
有（ ）；一般（ ）；沒有（ ）
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