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視頻標(biāo)簽：用樣本估計(jì)總體

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：部編新教材人教版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第九章統(tǒng)計(jì)9.2 用樣本估計(jì)總體9.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

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部編新教材人教版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第九章統(tǒng)計(jì)9.2 用樣本估計(jì)總體9.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)

總體集中趨勢(shì)的估計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
（一）內(nèi)容
平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的概念和統(tǒng)計(jì)含義，總體平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計(jì)。
（二）內(nèi)容解析
總體集中趨勢(shì)的估計(jì)是高中數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)第九章第二節(jié)第三課時(shí)的內(nèi)容。本單元內(nèi)容的安排以數(shù)據(jù)處理的基本過(guò)程為線索，教學(xué)中選取一些典型案例，讓學(xué)生在具體實(shí)例中經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的全過(guò)程。本節(jié)內(nèi)容是在具體案例中，對(duì)已獲取數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，理解計(jì)算樣本集中趨勢(shì)參數(shù)的必要性與合理性，再利用有關(guān)參數(shù)對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，具有承上啟下的作用。
根據(jù)以上分析，確定本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)為：會(huì)求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，并對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)。
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
（一）目標(biāo)
1、結(jié)合實(shí)例，學(xué)會(huì)用樣本估計(jì)總體的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。
2、根據(jù)已知條件，會(huì)求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。
3、能夠運(yùn)用眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)進(jìn)行判斷，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。
4、通過(guò)分析頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。
（二）目標(biāo)解析
達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：會(huì)求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，并對(duì)總體的集中趨勢(shì)進(jìn)行估計(jì)。
三、數(shù)學(xué)問(wèn)題診斷分析
學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過(guò)一組簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)的眾數(shù)，平均數(shù)中位數(shù)積累了一定的計(jì)算分析，統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的能力。本節(jié)需要在大量實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)模型計(jì)算樣本集中趨勢(shì)的參數(shù)，再利用相關(guān)參數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生可能會(huì)分不清該到底哪個(gè)或哪些參數(shù)對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)更為合適。
本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：利用相關(guān)參數(shù)對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)。
四、教學(xué)支持條件分析
本節(jié)課需要運(yùn)用多媒體播放軟件。
五、教學(xué)過(guò)程
（一）談話導(dǎo)入
同學(xué)們好，為了了解總體的情況，前面我們學(xué)習(xí)了用樣本的分布規(guī)律，估計(jì)總體的分布規(guī)律。但是有時(shí)候我們并不關(guān)心總體的分布，而關(guān)心總體在某方面的特征，比如說(shuō)要估計(jì)今年我縣水稻的產(chǎn)量 ，我們更關(guān)心今年水稻的總產(chǎn)量或每公頃水稻的產(chǎn)量，并不關(guān)心水稻的分布情況 。為此我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)這些反應(yīng)總體集中趨勢(shì)的量。本節(jié)課我們將進(jìn)一步了解它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，并用它們對(duì)總體進(jìn)行估計(jì) 。
（二）回顧概念，引入新課
指名學(xué)生回答概念。
眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)。
中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)從小到大或從大到小的順序排列，處在中間位置（或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）的數(shù)。
平均數(shù)：如果有n個(gè)數(shù)， ，那么 叫做這 個(gè)數(shù)的平均數(shù)。
（三）結(jié)合實(shí)例，分析探索
   在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫(huà)“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫(huà)了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。
下面我們通過(guò)具體實(shí)例進(jìn)一步了解這些量的意義，探究它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，并根據(jù)樣本的集中趨勢(shì)估計(jì)總體的集中趨勢(shì)。
例1.   利用下表中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)，并據(jù)此估計(jì)全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù)。
9.0     13.6    14.9    5.9     4.0     7.1     6.4     5.4    19.4    2.0
2.2     8.6     13.8    5.4     10.2    4.9     6.8     14.0    2.0   10.5
2.1     5.7      5.1    16.8    6.0     11.1    1.3     11.2    7.7    4.9
2.3     10.0     16.7   12.0    12.4     7.8     5.2    13.6    2.4    22.4
3.6     7.1      8.8    25.6    3.2     18.3    5.1     2.0     3.0    12.0
22.2    10.8     5.5     2.0     24.3    9.9     3.6    5.6     4.4     7.9
5.1     24.5     6.4     7.5     4.7     20.5    5.5    15.7    2.6     5.7
5.5     6.0     16.0    2.4      9.5     3.7     17.0   3.8     4.1     2.3
5.3     7.8     8.1      4.3     13.3    6.8     1.3    7.0     4.9     1.8
7.1    28.0     10.2    13.8     17.9   10.1   5.5    4.6     3.2     21.6
該市某個(gè)小區(qū)有200戶，你能估計(jì)該小區(qū)的月用水量嗎？
1、教師用Excel軟件演示計(jì)算過(guò)程，并展示結(jié)果。
2、教師錯(cuò)將7.7錄成了77和2.0錄成了200后，并用Excel分別計(jì)算出數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)。
追問(wèn)1:并與真實(shí)的樣本平均數(shù)和中位數(shù)作比較。哪個(gè)量的值變化更大？你能解釋其中的原因嗎？
平均數(shù)由原來(lái)的8.79t變?yōu)?.483t,中位數(shù)沒(méi)有變化.這是因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān),樣本中的任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變會(huì)引起平均數(shù)的改變；但中位數(shù)只利用了樣本數(shù)據(jù)中間位置的一個(gè)或兩個(gè)值, 并未利用其他數(shù)據(jù)，所以不是任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起中位數(shù)的改變,因此,與中位數(shù)較,平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中的更多信息,對(duì)樣本中的極端值更加敏感。
中位數(shù)和平均數(shù)的大小與數(shù)據(jù)分布形態(tài)的關(guān)系

平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在下圖的三種頻率分布直方圖形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小存在什么關(guān)系？
（1）單峰，直方圖圖形對(duì)稱：平均數(shù)≈中位數(shù)
（2）右邊“拖尾”：平均數(shù)>中位數(shù)
（3）左邊“拖尾”：平均數(shù)<中位數(shù)
結(jié)論：和中位數(shù)相比，平均數(shù)總在“長(zhǎng)尾巴”那邊。
追問(wèn)2. 你能說(shuō)一說(shuō)生活當(dāng)中有哪些減少極端值對(duì)平均數(shù)的影響的事例嗎 ？
（評(píng)委打分，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，取剩下得分的平均分）
過(guò)渡: 我們既然計(jì)算了平均數(shù)，為什么還要計(jì)算中位數(shù)、眾數(shù)呢？下面我們來(lái)看一看例二。
例2.某學(xué)校要定制高一年級(jí)的校服，學(xué)生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格，據(jù)統(tǒng)計(jì)，高一年級(jí)女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如下表所示，

校服規(guī)格	155	160	165	170	175	合計(jì)
頻  數(shù)	39	64	167	90	26	386

如果用一個(gè)量來(lái)代表該校高一年級(jí)女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和數(shù)中，哪個(gè)量比較合適？試討論用上表中的數(shù)據(jù)估計(jì)全國(guó)高一年級(jí)女生校服規(guī)格的合理性。
解：為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖來(lái)表示表中的數(shù)據(jù)（下圖)可以發(fā)現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級(jí)女生校服的規(guī)格比較合適。
由于全國(guó)各地的高一年級(jí)女生的身高存在一定的差異，所以用一個(gè)學(xué)校的數(shù)據(jù)估計(jì)全國(guó)高一年級(jí)女生的校服規(guī)格不合理。

眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較

名稱	優(yōu)點(diǎn)	缺點(diǎn)
平均數(shù)	與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息，對(duì)樣本中的極端值更加敏感	任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變．?dāng)?shù)據(jù)越“離群”，對(duì)平均數(shù)的影響越大
中位數(shù)	不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響	對(duì)極端值不敏感
眾數(shù)	體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)	眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對(duì)極端值不敏感

鞏固：列舉一些具體事例，讓學(xué)生選擇利用眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)。
用水量 校服規(guī)格 性別 產(chǎn)量 質(zhì)量等級(jí) 收入
小結(jié)：
分類型數(shù)據(jù)，用眾數(shù)估計(jì)更合理。
數(shù)值型數(shù)據(jù)用中位數(shù)平均數(shù)估計(jì)更合理。
探究:樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以分別作為總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的估計(jì)，但在某些情況下我們無(wú)法獲知原始的樣本數(shù)據(jù)，例如，我們?cè)趫?bào)紙、網(wǎng)絡(luò)上獲得的往往是已經(jīng)整理好的統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖，這時(shí)該如何估計(jì)樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)？
例3：

你能以下圖居民用水的頻率分布直方圖提供的信息，估計(jì)出樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)嗎?
分析：
1.給足學(xué)生討論時(shí)間。
2. 經(jīng)過(guò)師生討論得出:在頻率分布直方圖中丟失了原始數(shù)據(jù)，所以我們默認(rèn)數(shù)據(jù)在頻率分布直方圖的小矩形中是均勻分布的因此我們用每個(gè)小矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)代表小矩形中的數(shù)字。
3.學(xué)生思考討論計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算方法。
眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，月均用水量在區(qū)間[4.2,7.2)內(nèi)的居民最多，可以將這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)5.7作為眾數(shù)的估計(jì)值，如圖所示，眾數(shù)常用在描述分類型數(shù)據(jù)中，在這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中，眾數(shù)“5.7”讓我們知道月均用水量在區(qū)間[4.2,7.2)內(nèi)的居民用戶最多，這個(gè)信息具有實(shí)際意義。
中位數(shù)：根據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù).因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等。
這個(gè)結(jié)果與根據(jù)原始數(shù)據(jù)求得的中位數(shù)6.6相差不大。
中位數(shù)即第50百分位數(shù)。
由于0.077×3=0.231,(0.077+0.107)×3=0.552.
因此中位數(shù)落在區(qū)間[4.2,7.2)內(nèi).
設(shè)中位數(shù)為x,由0.077×3+0.107×(x-4.2)=0.5得到x≈6.71.
因此，中位數(shù)約為6.71,如圖所示.

平均數(shù)：因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替。

這個(gè)結(jié)果與根據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算的樣本平均數(shù)8.79相差不大。
小結(jié)：
平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形面積乘以各個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和。
中位數(shù)：把頻率分布直方圖分成面積相等的左右兩部分。
眾數(shù)：最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
過(guò)渡：剛才我們估計(jì)的是在分為九組的頻率分布直方圖下，100戶居民用水量大眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，下面我們來(lái)估計(jì)一下將100戶居民用水量分為三組時(shí)的頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)。
跟蹤練習(xí)：

	原始數(shù)據(jù)	9 組	3 組
眾  數(shù)	2.0	5.7	5.7
中位數(shù)	6.8	6.7	7.8
平均數(shù)	8.79	8.96	9.39

 
在頻率分布直方圖中，我們無(wú)法知道每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的，此時(shí)，通常假設(shè)它們?cè)诮M內(nèi)均勻分布，這樣就可以獲得樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計(jì)，進(jìn)而估計(jì)總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).
頻率分布直方圖損失了一些樣本數(shù)據(jù)，得到的是一個(gè)估計(jì)值，且所得估值與數(shù)據(jù)分組有關(guān)，有隨機(jī)性。
跟蹤訓(xùn)練：計(jì)算不同分組下頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，再將數(shù)值進(jìn)行對(duì)比，了解計(jì)算數(shù)值的隨機(jī)性，明白統(tǒng)計(jì)方法沒(méi)有好壞之分，只有合適與不合適之分。
（四）拓展延伸，學(xué)以致用
某工廠人員及月工資構(gòu)成如表：

人員	老  板	管理人員	高級(jí)技工	工人	合計(jì)
月工資/元	220000	20000	10000	8000	550000
人數(shù)	1	6	5	20	32

該廠職工年平均收入能達(dá)到20萬(wàn)嗎？我能建議表弟去該廠入職嗎？
（五）總結(jié)
通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲。
    眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的量，其中以平均數(shù)最為重要，其應(yīng)用也最為廣泛。
（六）布置作業(yè)
1、課本208頁(yè)練習(xí)1、2、3。
2、

人員	老  板	管理人員	高級(jí)技工	工人	合計(jì)
月工資/元	220000	20000	10000	8000	550000
人數(shù)	1	6	5	20	32

請(qǐng)改動(dòng)表中的數(shù)據(jù)，在工廠平均工資為20萬(wàn)的前提下，能讓表弟入職。
（七）板書(shū)設(shè)計(jì)：
總體集中趨勢(shì)的估計(jì)
 
1、眾數(shù)  中位數(shù)  平均數(shù)
2、在頻率分步直方圖中求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)。

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