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視頻標(biāo)簽：指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：（省賽）北師大版必修第一冊(cè)第三章第3節(jié)《指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)（一）》3.3.1指數(shù)函數(shù)第一課時(shí)夏凱月

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部編版高中新課程新教材優(yōu)質(zhì)課比賽（省賽）北師大版必修第一冊(cè)第三章第3節(jié)《指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)（一）》3.3.1指數(shù)函數(shù)第一課時(shí)
第3課時(shí)  指數(shù)函數(shù)的概念及性質(zhì)
                  
一、課時(shí)內(nèi)容與內(nèi)容解析
本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書北師大版必修第一冊(cè)第三章第三節(jié)第一課時(shí)指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)。主要內(nèi)容是指數(shù)函數(shù)的概念，以及底數(shù)時(shí)的圖象和性質(zhì)，是一節(jié)探究課。
函數(shù)是刻畫客觀世界變量關(guān)系強(qiáng)有力的工具與模型，它貫穿整個(gè)高中課程，而指數(shù)函數(shù)作為基本初等函數(shù)之一，不僅提供了研究一類函數(shù)的思想方法，并且在實(shí)際生活中對(duì)于指數(shù)增長衰減模型的刻畫也有重要的作用。
本節(jié)課是在函數(shù)的概念性質(zhì)及指數(shù)冪的擴(kuò)充和運(yùn)算之后學(xué)習(xí)的，學(xué)生已有初步的數(shù)形結(jié)合以及抽象的能力。在此基礎(chǔ)之上，利用指數(shù)冪的擴(kuò)充及運(yùn)算抽象出指數(shù)函數(shù)概念，然后探究了底數(shù)時(shí)的圖象與性質(zhì)，從而體會(huì)一類函數(shù)的探究方法。本節(jié)課學(xué)完之后，也為下節(jié)時(shí)的圖象性質(zhì)和后續(xù)函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。因此本節(jié)課內(nèi)容具有承前啟后的作用，至關(guān)重要。
二、學(xué)情分析
（一）已有的知識(shí)儲(chǔ)備
通過第二章的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了函數(shù)的概念及性質(zhì)，可以熟練地作出函數(shù)圖象，并且積累了用函數(shù)圖象和代數(shù)運(yùn)算研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)。通過前兩個(gè)課時(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)對(duì)指數(shù)冪有了一定的了解，這些都為本節(jié)課提供了一定的知識(shí)基礎(chǔ)。
（二）存在的問題
但是針對(duì)高一學(xué)生，他們的思維習(xí)慣，數(shù)形結(jié)合能力以及觀察抽象歸納等能力都還不強(qiáng)，在本節(jié)課的學(xué)習(xí)上還是會(huì)遇到一些困難。一是雖然前面經(jīng)歷了指數(shù)冪的學(xué)習(xí)，但直接從數(shù)學(xué)內(nèi)部建立起與函數(shù)的聯(lián)系，從而抽象出指數(shù)函數(shù)概念對(duì)學(xué)生來說是個(gè)難點(diǎn)。二是即使前面冪函數(shù)能提供給大家研究的框架，但與指數(shù)函數(shù)不同的是，冪函數(shù)只研究了五個(gè)具體的函數(shù)，學(xué)生并沒有經(jīng)歷從特殊到一般的抽象過程，因此作為一節(jié)具體函數(shù)探究課，學(xué)生并沒有太多的經(jīng)驗(yàn)。加上班級(jí)學(xué)生會(huì)有少許的分化，部分基礎(chǔ)不好的同學(xué)邏輯推理數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)還較為欠缺，在性質(zhì)的探究和歸納過程會(huì)產(chǎn)生一些困難。除此之外，在心理上，由于函數(shù)本身就具有較強(qiáng)的抽象性，加上高中與初中數(shù)學(xué)的差異性，所以處于高中起始階段的學(xué)生，容易對(duì)高中數(shù)學(xué)產(chǎn)生挫敗感，自我效能感降低，產(chǎn)生習(xí)得性無助等。
（三）解決辦法
為此，在教學(xué)中要建立在學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上，教師引導(dǎo)，從具體函數(shù)和幾何直觀入手為學(xué)生搭建腳手架。讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的過程，同時(shí)利用信息技術(shù)，突破難點(diǎn)。在教學(xué)過程中善于引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生樹立自信心。
所以在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，概念部分注重引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)出發(fā)，將新舊知識(shí)之間建立聯(lián)系，抽象出指數(shù)函數(shù)概念。性質(zhì)部分注重從具體的指數(shù)函數(shù)出發(fā)，結(jié)合圖象的觀察分析，動(dòng)手操作，自主探究，通過信息技術(shù)GeoGebra輔助，獲得一般性結(jié)論，在這個(gè)過程中增強(qiáng)學(xué)生的自我效能感。

• 目標(biāo)與目標(biāo)解析

 1.目標(biāo)
（1）通過指數(shù)冪的回顧，學(xué)生能建立起與函數(shù)之間的聯(lián)系，從而抽象出指數(shù)函數(shù)的概念，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。
（2）通過對(duì)和圖象的對(duì)比，學(xué)生能找出其共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，并能用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確刻畫。積累從幾何直觀和代數(shù)直觀研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。
（3）通過GeoGebra演示，從具體到抽象，學(xué)生能總結(jié)出時(shí)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。經(jīng)歷從特殊到一般的推理過程，發(fā)展邏輯推理的核心素養(yǎng)。
（4）學(xué)生能應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解決比較大小、方程及不等式等有關(guān)問題，學(xué)會(huì)用函數(shù)眼光看待數(shù)學(xué)問題，體會(huì)函數(shù)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。
2.目標(biāo)解析
達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

1. 學(xué)生能通過前兩節(jié)指數(shù)冪的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，解決問題1和問題2，并能從中發(fā)現(xiàn)函數(shù)關(guān)系，得出概念后，能自主完成例1，掌握指數(shù)函數(shù)的形式特點(diǎn)。
2. 學(xué)生能利用描點(diǎn)法準(zhǔn)確作出和圖象，通過對(duì)比共同特征能得出函數(shù)相應(yīng)的定義域、值域、單調(diào)性、定點(diǎn)等性質(zhì)。能通過觀察不同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)底數(shù)對(duì)指數(shù)函數(shù)圖象的影響。
3. 學(xué)生能通過觀察信息技術(shù)演示，將由具體函數(shù)總結(jié)的圖像特征和函數(shù)性質(zhì)推廣到一般，并能用符號(hào)語言準(zhǔn)確刻畫。
4. 學(xué)生能利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，自主完成例2、例3以及相關(guān)變式和鞏固練習(xí)，并能說出自己的思路以及理論依據(jù)。

 
四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)概念的理解，a>1時(shí)的圖象與性質(zhì)的掌握
教學(xué)難點(diǎn)：a>1時(shí)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的概括及應(yīng)用
五、方法與策略
教學(xué)方法上，本節(jié)課采用探究式的教學(xué)方法，采用“提出問題一概念得出---動(dòng)手操作--技術(shù)演示--總結(jié)歸納”層層遞進(jìn)的方式來突破本節(jié)課的重難點(diǎn)。學(xué)法上，由一系列問題為主線，層層遞進(jìn)，由淺入深，讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)性質(zhì)探究的一般思想方法。在教學(xué)手段上，采用多媒體課件以及Geogebra，它既便于學(xué)生直觀感知，提高課堂教學(xué)效率，又能輔助驗(yàn)證結(jié)論，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。
六、資源與工具
本節(jié)課的目標(biāo)之一是學(xué)生能總結(jié)并掌握底數(shù)時(shí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，所以需要借助Geogebra軟件動(dòng)態(tài)演示，幫助學(xué)生直觀感知，從而將由特殊函數(shù)得出的結(jié)論推廣到一般。另外，為了檢測教學(xué)目標(biāo)是否達(dá)成，在例題部分需要用到投影展示學(xué)生的成果。
七、教學(xué)內(nèi)容與過程
（一）創(chuàng)設(shè)問題 導(dǎo)入課題
問題1：通過前面的學(xué)習(xí)，你對(duì)指數(shù)冪中的底數(shù)和指數(shù)有哪些認(rèn)識(shí)？
追問1：如果把記為，的值有什么特點(diǎn)？
問題2：對(duì)于，當(dāng)?shù)讛?shù)一定時(shí)，任給一個(gè)實(shí)數(shù)，是否都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)？
預(yù)設(shè)學(xué)生回答是的函數(shù)，引導(dǎo)一般用表示自變量表示函數(shù)，從而引出課題（板書）
【設(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)習(xí)舊知引導(dǎo)學(xué)生自主思考，從學(xué)生熟悉的指數(shù)冪出發(fā)，讓學(xué)生將現(xiàn)有知識(shí)與函數(shù)之間建立起聯(lián)系，從而自然地抽象出指數(shù)函數(shù)的概念，并且為指數(shù)函數(shù)的定義域和函數(shù)值特點(diǎn)提供知識(shí)基礎(chǔ)。
（二）啟發(fā)引導(dǎo) 形成概念
指數(shù)函數(shù)的概念：
問題3：通過上述問題，你能得出指數(shù)函數(shù)的哪些簡單性質(zhì)？
定義域：R     函數(shù)值大于零
追問：由前面的學(xué)習(xí)我們知道=1(≠0)，由此，在指數(shù)函數(shù)中我們還可以得到什么性質(zhì)？
圖象過定點(diǎn)（0.1）
【設(shè)計(jì)意圖】初步建立從代數(shù)角度研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)
 例1 判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)？
          
【設(shè)計(jì)意圖】通過變式強(qiáng)調(diào)指數(shù)函數(shù)的形式特點(diǎn)
（三）逐步深入 提出問題
師生活動(dòng)：回顧第二章函數(shù)的學(xué)習(xí)過程，類比思考研究完指數(shù)函數(shù)的定義之后，下一步該研究什么？讓學(xué)生進(jìn)一步明確接下來的探究任務(wù)，即指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)底數(shù)的范圍被分成了和兩部分，本節(jié)課先來探究時(shí)的性質(zhì)。
思考：（1）我們一般研究函數(shù)的哪些性質(zhì)？ 
           定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性…
（2）通過什么方式去發(fā)現(xiàn)這些性質(zhì)？       
   預(yù)設(shè)： 根據(jù)圖象特征數(shù)形結(jié)合
（3）底數(shù)的值未知，（）的圖象無從畫起，如何解決？
預(yù)設(shè)：賦予具體的數(shù)值，從具體的函數(shù)出發(fā)
追問：大家覺得在的條件下給賦予什么值，更簡單且有利于作出圖象？
【設(shè)計(jì)意圖】通過以上三個(gè)問題，逐步推進(jìn)設(shè)問，讓學(xué)生自主建構(gòu)探究函數(shù)性質(zhì)的一般方法及思想。
（四）討論探究 發(fā)現(xiàn)性質(zhì)
動(dòng)手操作：在同一平面直角坐標(biāo)系中作出和的圖象
師生活動(dòng)：找學(xué)生上黑板作圖，其余學(xué)生在學(xué)案上作圖，教師巡視，并引導(dǎo)列表時(shí)要依據(jù)定義域選取有代表性的數(shù)值，可利用上面發(fā)現(xiàn)的兩條性質(zhì)輔助作圖。
問題4：觀察它們的圖象特征有什么共同點(diǎn)，從中你能發(fā)現(xiàn)哪些共同性質(zhì)？
師生活動(dòng)：學(xué)生自主總結(jié)觀察出來的圖象共同特征后，教師引導(dǎo)學(xué)生將觀察出的圖象特征用符號(hào)語言表示出來，數(shù)形結(jié)合。
 追問：以上性質(zhì)是由兩個(gè)特殊的函數(shù)總結(jié)出來的，是否只要底數(shù)大于1時(shí)，指數(shù)函數(shù)都具有這樣的性質(zhì)呢？                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   


借助GeoGebra操作驗(yàn)證，師生共同歸納總結(jié)：
【設(shè)計(jì)意圖】先通過動(dòng)手操作將得出的圖象對(duì)比分析，學(xué)生初步感知和的圖象和性質(zhì)，然后從特殊到一般，借由信息技術(shù)輔助，將性質(zhì)推廣到一般，即（）的圖象性質(zhì)。
問題5：觀察它們的圖象特征有什么不同點(diǎn)，你又能得到什么結(jié)論？
預(yù)設(shè)：，的圖象在的上方，，的圖象在的下方。
引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表示：



追問：類似的，以上結(jié)論能否推廣到一般？
    GeoGebra操作演示，得出結(jié)論：對(duì)于和



【設(shè)計(jì)意圖】通過動(dòng)手操作所得圖象的對(duì)比分析，找出不同點(diǎn)，體會(huì)底數(shù)對(duì)指數(shù)函數(shù)圖象的影響，從特殊到一般，提出猜想，最后借由信息技術(shù)geogebra輔助，將性質(zhì)推廣到一般，突破本節(jié)難點(diǎn)。
（五）新知應(yīng)用 鞏固深化
例2  比較下列各題中兩個(gè)數(shù)的大小：


【設(shè)計(jì)意圖】通過例1考察指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，并且滲透構(gòu)建函數(shù)的方法及函數(shù)思想。變式意圖是考察底數(shù)大小對(duì)函數(shù)的影響這一性質(zhì)的應(yīng)用
例3  （1）求使不等式成立的實(shí)數(shù)的集合
（2）已知方程，求實(shí)數(shù)的值；
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)在解不等式以及解方程中的應(yīng)用
 
（六）鞏固練習(xí) 檢驗(yàn)效果

（2）

（1）

1.比較下列各題中兩個(gè)數(shù)的大小：
 
 
2.求下列不等式成立的實(shí)數(shù)的集合：

	（1）
			（2）

 
 

（七）小結(jié)提高 回顧新知
（1）這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的哪些內(nèi)容？
（2）我們是按照什么樣的路徑去研究指數(shù)函數(shù)的？在這個(gè)過程中，用了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？
（八）分層作業(yè)
1.鞏固作業(yè)
必做題：教材84頁練習(xí)題1，3
選做題：嘗試給出單調(diào)性以及大小關(guān)系的證明
2.探究作業(yè)
作出指數(shù)函數(shù)的圖象，類比的情況，小組交流，討論時(shí)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，完成探究活動(dòng)報(bào)告（附后）。
【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步鞏固本節(jié)課的所學(xué)內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生層次的不同設(shè)置必做題和選做題，讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。其中的選做題是為了從代數(shù)角度進(jìn)一步證明相關(guān)性質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。探究作業(yè)一方面是對(duì)本節(jié)課思想方法的遷移應(yīng)用，另一方面是為了下一節(jié)課的性質(zhì)研究做準(zhǔn)備。
 
板書設(shè)計(jì)

指數(shù)函數(shù) 概念    性質(zhì) 定義域 值域 定點(diǎn) 單調(diào)性

和

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
 

 
探究活動(dòng)：時(shí)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

小組成員
小組分工	組長：
	其他組員分工:
探究過程		探究結(jié)論
思考總結(jié)：（1）你是按照什么步驟進(jìn)行探究的？
（2）探究過程中遇到的問題和解決方式：
檢測習(xí)題：    比較下列各組數(shù)的大小：        （1），；     （2）， （3） ,.

 

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