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視頻標簽：指數函數的圖象與性質

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：（省賽）北師大版必修第一冊第三章第3節《指數函數圖象和性質（三）》第5課時指數函數的圖象與性質的簡單應用馬

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部編版高中新課程新教材優質課比賽（省賽）北師大版必修第一冊第三章第3節《指數函數圖象和性質（三）》第5課時指數函數的圖象與性質的簡單應用

第五課時  指數型函數的圖象和性質的簡單實際應用

 
一、課時內容與內容解析
本節課選自普通高中課程標準實驗教科書北師大版必修第一冊第三章第3節第2課時的衍生課：指數函數的圖象和性質的簡單實際應用.本節課主要是通過以章引言中的“世界人口問題”為背景，展示建立數學模型解決實際問題的基本過程，體驗指數型函數模型的實際應用價值，是一節建模課.
數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養.為了準確地刻畫客觀世界的運動變化，描述現實問題的變化規律，常常需要選擇恰當的函數類型來構建數學模型，但要選擇恰當的函數類型就要清楚不同類型函數所刻畫的變化規律的特點.指數函數作為一種特殊的函數，刻畫了呈現“指數增長衰減”的運動變化現象，這種運動變化現象在現實世界中非常常見.因此本節內容試圖通過表格、圖象讓學生直觀地感受“人口問題”的變化規律，通過建立不同的函數模型對比分析強化對指數函數圖象和性質的認識和理解，引導學生從數學的視角發現問題、提出問題，構建指數型函數模型，確定模型中的參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決問題，讓學生體會數學的來源和應用，豐富學生對數學的認識.
本節內容的學習，既是對前面知識的綜合應用，也對建立數學模型解決實際問題的過程的體驗。在此過程中激發應用數學的意識，逐步形成分析問題、解決問題的能力，提升數學抽象、數學建模等素養.
 
二、課時學情分析
（一）已有的知識儲備
學生在本節內容之前已經掌握了指數函數的概念、圖象以及性質，可以熟練地作出指數函數圖象，并且已經積累了用函數圖象和代數運算研究函數性質的經驗，并能夠應用它們解決學科內的一些問題和一些最基礎的實際問題.通過前面的學習，學生對數學建模及已經不再陌生，這些都為本節內容的學習提供了一定的知識基礎.
（二）存在問題
高一學生的思維習慣，數形結合能力以及觀察、抽象和歸納等能力都還不強，在本節課的學習上還是會遇到一些困難.
一方面，面對較為復雜的實際問題，如何將其轉化為數學問題，特別是如何選擇合適的函數模型來刻畫實際問題，大多數學生既缺乏這方面的經驗，也缺乏數學抽象能力和對指數型函數模型的深刻認識.即使學生非常清晰指數函數的圖象，但在結合現實情境中的具體問題時困難重重.從利用信息技術將表格中的數據轉化為圖象，到由圖象直觀地發現整體的變化情況，再到利用計算工具對已有數據進行數據處理，最后揭示出圖象蘊含的變化規律進一步選擇合適的數學模型，這一過程對學生來說非常困難.
另一方面，在利用函數模型解決問題的過程中，大多數學生還沒有養成利用信息技術根據函數模型進行運算求解的良好習慣.
除此之外，在心理上，由于函數本身就具有較強的抽象性，加上高中與初中數學的差異性，所以處于高中起始階段的學生，容易對高中數學產生挫敗感，自我效能感降低，產生習得性無助等.
（三）解決辦法
首先，教學時可以多從以下兩方面幫助學生克服困難：一是根據實際問題的條件建立等量關系，從而將實際問題抽象為數學問題；二是從數和形出發，定性和定量地分析實際問題的變化規律，從而選擇合適的函數模型.在教學中要想選擇合適的模型解決“世界人口”這一實際問題，就要在學生已有知識經驗的基礎之上，先分析和理解實際問題的增長情況，其中重點考慮是“二次函數型增長”還是“指數型增長”，然后再根據增長情況選擇函數類型構建數學模型.其次，教學中應引導學生歸納問題特點以及解決問題的過程和方法，注意實際問題的具體背景，將指數型函數模型靈活應用，同時還應注意總結建立數學模型解決實際問題的基本過程.最后，在教學中多鼓勵學生使用信息技術進行復雜的運算求解，畫圖分析，多元聯系地表示數學對象并分析問題，從而逐步形成利用信息技術研究實際問題的意識.
 
三、目標與目標解析
1.目標
（1）通過對實際問題的分析和解決過程，加深對指數型函數模型的理解，同時掌握利用信息技術進行復雜運算求解的方法，進一步熟練指數運算性質，發展數學運算能力；
（2）在建立數學模型解決實際問題的過程中，提升數學建模素養；根據不同的實際情況，建立不同的數學模型，在此過程中形成數學思維的條理性，發展分析問題解決問題的能力，提升數學抽象素養；
（3）通過對“人口問題”的自主探索，合作交流，鍛煉協作能力，同時歸納指數型函數模型的增長特點，推廣模型，感受數學的應用價值，體會從特殊到一般的數學思想.
2.目標解析
達成上述目標的標志是：（高中數學六大核心素養名稱：A. 數學抽象；B. 邏輯推理；C. 數學建模；D. 直觀想象；E. 數學運算；F. 數據分析.）
（1）學生分析問題時，能明確“世界人口問題”中的數量關系，能從直觀的角度考慮到將表格數據轉化成圖形信息進一步分析，并能針對圖象的變化趨勢提出不同的函數模型方案，將實際問題抽象為數學問題并為建立函數模型；（AFD）
（2）能從實際問題的分析和解決過程中，深化理解指數函數型模型的變化特征，進一步確定選擇建立指數型函數模型解決該實際問題，在信息技術的輔助下完成復雜指數運算的求解，在此過程中能自主探索，合作交流，激發濃厚的學習興趣，感受數學的應用價值；（BCE）
（3）在選擇或建立函數模型解決實際問題的過程中，圍繞“是什么數學問題”“選什么函數模型”“為什么要選這個函數模型”“怎么解答實際問題”，在此過程中讓學生逐步養成數學思維的條理性，進一步提高分析問題解決問題的能力，提升學生的數學抽象和數學建模素養.（AC）
四、教學重點與難點：
重點：通過解決“人口問題”，感受指數函數所描述的變化規律，了解指數型函數模型在實際生活中的應用.
難點：使用恰當的方式處理原始數據簡化實際問題；理解用“增長率”為常數刻畫指數函數的變化規律，識別實際問題中的指數型函數模型的應用.
五、方法與策略
教學方法上，本節課采用小組合作探究式的教學方法，由實際問題入手，通過“提出問題—收集數據—建立模型—求解模型—推廣模型”層層環節展開啟發學生的思維，突破本節課的重難點。學法上，從具體問題出發，特殊到一般，由淺入深，讓學生感受指數型函數模型的應用價值。在教學手段上，采用多媒體課件以及Excel軟件，它既便于學生直觀感知，提高課堂教學效率，又能輔助驗證結論，激發學生學習興趣。
六、資源與工具
為了幫助學生克服選擇函數模型并利用所得模型解決問題的困難，教學過程中應充分利用信息技術的列表、作圖、計算等功能，處理實際數據便捷地求解，讓學生將主要精力投入到定性和定量的分析問題上.
使用的資源和工具如下：國內各版本普通高中課程標準教科書及教學參考書，數學實驗室，智慧黑板等多媒體設備、Excel軟件等信息技術軟件.
 
七、教學內容與過程
（一）提出問題  分析問題
章引言：1987年7月11日，地球人口達到50億.1990年聯合國將每年7月11日定為“世界人口日”，以喚起人們對人口問題的關注.1999年和2011年世界人口分別到達60億和70億.最新預測認為，世界人口在2050年將達到98億，到21世紀末可能超過110億.
提出問題：（1）你知道最新預測值是如何得到的嗎？
         （2）你能預測2100年時的世界人口數嗎？
（教師進一步結合“世界各國人口變化統計”的視頻，幫助學生理解材料，引導學生分析兩者之間的聯系，找到世界人口總數隨時間變化的規律進一步解決問題.）
設計意圖：通過回歸教材章引言提出的問題，激發學生的學習興趣，引導學生自主思考，將實際問題和已有的知識建立起聯系.教學時采用問題的形式，結合視頻生動展現數據的變化，意在有針對性地關注到不同層次的學生，做到總體引導，分層指導.結合學生的實際情況，逐步深入引導學生思考問題的本質，將實際問題轉化為數學問題，引導學生考慮建立適當的函數模型，為后續的研究做好鋪墊.
顯然，如果能建立世界人口總數隨時間變化的函數模型，那么就能容易地解決這個問題.為此，我們需要收集更多的真實數據，利用這些數據建立適當的函數模型.
上述實際問題轉化為：
（1）建立一個函數模型，使其能較好的反映世界人口與時間之間的關系；
（2）利用建立的模型求解2100年時的世界人口數。
（二）收集數據  處理數據
學生活動1：（課前完成，課堂完成匯總。）
小組分工合作，收集不同年份的世界人口數據，匯總到導學案表1中。
（提醒學生：有些平臺提供的是年初數據，有些提供的是年末數據，務必認真仔細.）
表1

年份	1960	1965	1970	1975	1980	1987	1990	1995	1999	2005	2011
世界人口總數/億

設計意圖：數據收集是很多數學實際問題中必不可少的步驟，此環節的設計意在讓學生體會數據來源的真實性，為后續親身發現人口變化的客觀規律埋下伏筆，讓學生充分感受到數學的應用價值.
（三）分析數據，建立模型
提出問題：如何更直觀分析兩者間的關系呢？
學生答：做出對應圖象。
提出問題：你能簡述初中時我們作圖象的流程嗎？作圖過程中有哪些注意事項？
（教師引導學生回顧初中作圖的步驟以及注意事項，協助學生分小組完成學生活動2.并當堂展示分析.）
學生活動2：（課堂完成。）
根據表格數據，在如下網格紙內繪制世界人口與時間的圖象，并觀察其分布特征。

教師引導學生注意坐標軸單位長度的選取的合理性.
同時師生共同分析：參考表1數據，考慮到年份數值過大，不利于作圖，不妨將1960年視為初始年，經過x年后的世界人口總數為y億，得到如下表2數據.將每一對數x，y對應的數對（x，y）用平面直角坐標系的點來表示，可得到對應的圖象.
表2

經過的時間x/年	0	5	10	15	20	27	30	35	39	45	51
世界人口總數/億

 
師生共同分析小組代表繪制的圖象，考慮到手工作圖會出現誤差不夠嚴謹，教師引導學生可以借助信息技術完成作圖.
教師活動1：Excel軟件演示繪制圖象.
操作步驟如下：
第一步：在Excel中A列輸入橫坐標，B列輸入縱坐標；
第二步：選擇所有數據，點擊插入菜單，選擇圖表，選擇散點圖即可。
根據表2數據，借助Excel軟件可得到平面直角坐標系中一組組孤立的點，我們稱該圖為散點圖（圖1），添加軌跡線可得到軌跡圖（圖2）.
      
                        圖1                                      圖2
提出問題：學習過的函數中，哪種函數的圖像與之最接近呢？
教師引導學生觀察圖象的分布特征，復習目前已學習的常見的函數模型，思考選擇哪類函數來近似的刻畫世界人口隨時間的變化規律.
設計意圖：引導學生畫圖分析已有數據，意在借助圖象直觀理解世界人口和時間的變化規律，為后續啟發學生將之與熟悉的一次函數、二次函數、冪函數、指數函數等圖象特征相對比，選出適當的函數模型近似直觀地刻畫兩個變量的關系打好基礎.
教師借助圖象的分布情況，引導學生發現二次函數、冪函數、指數函數圖象都可以呈曲線遞增趨勢，并組織學生小組合作進行比較，分析不同模型的可行性和適用性等，最終選擇建立適當的函數模型.
模型一：二次函數模型
模型二：指數型函數模型
提出問題：如何建立上述函數模型？
追問：（1）待定系數法可以解決嗎？
（2）代入數據不同會影響最終結果嗎？
（3）如何嚴謹求解模型？
教師通過追問，層層遞進，讓學生感受到信息技術在數據處理方面的優勢，并指導學生借助Excel軟件完成數據的擬合、函數解析式的求解以及函數模型的建立.
學生活動3：小組合作，借助Excel軟件完成函數解析式的求解，建立對應的函數模型.
小組分工如下：
二小組求解二次函數模型；
第三、四小組求解指數型函數模型.
小組匯報展示，建立函數模型如下.
模型一：借助Excel軟件中的“多項式”數據擬合功能，得到的二次函數模型為
y = 0.0057 x2 + 0.5401 x+29.344，R2 = 0.9952；（圖3）     ①
模型二：借助Excel軟件中的“指數型”數據擬合功能，得到的指數型函數模型為
y = 29.656e0.0176x，R2 = 0.9956.（圖4）       ②
  
圖3                                      圖4
設計意圖：現實收集的數據并不一定具有很強的規律性，因此，工具的使用、算法的優化在求解模型過程中尤為重要.充分利用Excel軟件的數據處理擬合功能，可以快速實現函數模型的擬合求解，且操作便捷，讓學生將主要精力投入到定性和定量的分析問題上.
（四）檢驗模型  確定模型
函數模型的選擇并不局限于一種，所求解的函數模型一般也只能反應局部規律，因此建立模型后需要對模型進行對比檢驗.
提出問題：對比兩個模型，哪個模型更適合呢？
追問：（1）從“形”的角度能檢驗嗎？
（2）從“數”的角度能檢驗嗎？
教師指導學生，從“形”的角度，畫出函數模型①和②的圖象與散點圖數據對比，觀察哪個模型與實際數據更吻合.從“數”的角度，將已知的時間數據代入函數模型①和②中，計算出世界人口數與實際數據進行對比，借助Excel軟件作出誤差分析表（表3，表4），比較哪個模型誤差更小.
教師活動2：借助Excel軟件分別作出兩個模型的誤差分析表，完成模型的檢驗.
（教師提示學生：上述擬合散點圖中的R2在統計中有特殊的含義，可幫助我們快速判斷模型擬合的效果.其中R2的值越接近于1，其擬合程度越高，反之則擬合程度越低.）
表3   二次函數型模型誤差分析

經過的時間x/年	0	5	10	15	20	27	30	35	39	45	51
世界人口總數/億
二次函數模型求解值
誤差1

表4   指數型函數模型誤差分析

經過的時間x/年	0	5	10	15	20	27	30	35	39	45	51
世界人口總數/億
指數型模型求解值
誤差2

設計意圖：建立模型和檢驗模型是實例教學的重點，指導學生利用信息技術工具從形和數的角度檢驗模型，可幫助學生準確高效的找到合適的函數關系式.最后提醒學生還可利用R2等檢驗吻合程度，為高二統計分析的學習做好鋪墊.借助特定參數值驗證模型后，可保證建立模型的準確性，為下一步實際問題的求解做好充足的準備.
顯然指數型模型更符合“世界人口”這一實際問題.
（五）求解模型  解決問題
學生活動4：借助的函數模型求解2100年時的世界人口總數值.
根據模型，預測1960年后的第140年2100年時的世界人口總數值，只需將x = 140代入y = 29.656e0.0176x求解即可。
同時還能進一步檢驗2050年和21世紀末時的世界人口預測值是否合理。
設計意圖：本環節的設計意在促進學生進一步利用建立好的指數函數模型解決實際問題，在此過程中加深對“人口問題”的理解，人口問題是一個經典的指數增長模型.
（六）模型推廣  模型應用
在實際問題中，經常會遇到類似于人口案例的指數增長模型：設原有量為N，每次的增長率為p，經過x次增長，該量增長到y，則y = N(1+p)x (x∈N).
形如y = k ax ( k∈R，且k≠0，a>0，且a≠1)的函數是刻畫指數增長或指數衰減變化規律的非常有用的函數模型.
教師活動3：借助Excel軟件計算出世界人口變化的年增長量和年增長率，對比發現規律，理解建立指數型函數模型的合理性.
設計意圖：結合散點圖，再借助信息技術分析世界人口的年增長量和年增長率的特點，引導學生發現世界人口年增長率都約為1.02－1=0.02，是個常數.經歷此過程讓學生深刻理解增長率是刻畫指數函數變化規律的很重要的量，從而實現模型的推廣.
在實際問題中遇到增長率為常數的變化方式就是指數增長，即可用指數增長模型加以求解.
學生活動5：思考討論還有哪些指數函數應用的實例？與同學分享。
教師總結常見的應用還體現在以下方面：
模型應用1：細胞分裂（病毒感染）問題.
模型應用2：放射性物質的衰減（半衰期）問題.
模型應用3：復利（GDP增長）問題.
      
模型在高考中應用：

    設計意圖：通過收集指數增長模型的在不同方面的實際應用，讓學生充分感受該模型的重要性以及數學的應用價值.
（七）小結提升  回顧新知
請你帶著下列問題回顧本課的學習內容，并給出回答：
（1）簡述求解“世界人口”這一實際問題的過程。
（2）你能指出指數函數增長率的特點嗎？
（3）本節課運用了哪些思想方法？
師生活動：學生帶著問題獨立思考、作答，再全班交流、展示，教師予以補充完善.
設計意圖：通過梳理利用指數增長模型解決實際問題的基本過程，配合流程圖直觀回顧，可以在學生頭腦中形成清晰的知識結構，在此過程中更進一步明確指數增長模型的變化規律.
八、分層作業
1.鞏固作業
根據國家統計局網站公布的數據，我國1950年末、1959年末的人口總數分別55196萬和67207萬.根據這些數據，用人口增長模型建立我國在1950~1959年期間的具體人口增長模型，并完成模型的檢驗，并結合國策分析原因.
2.探究作業
【必做題】
①完成教材93頁C組第3題.
②請同學們課下搜集指數函數應用的實例，用數學建模的思想分析問題，并與同學交流.
【選做題】
課外拓展閱讀：人口問題是當今世界各國普遍關注的問題.認識人口數量的變化規律，可以為制定一系列相關政策提供依據.早在1798年，英國經濟家馬爾薩斯就提出了自然狀態下的人口增長模型 ，其中t表示經過的時間，表示t = 0時的人口數，r 表示人口的年平均增長率.盡管對馬爾薩斯人口理論存在一些爭議，但它對人口學和經濟學的發展產生了一定的影響，請同學們上網查閱資料，了解還有哪些人口模型，它們與我們學習的指數函數之間有怎樣的關系？
2.預習任務
請同學們站在整章角度，整理本章的思維導圖，并與同學交流.
設計意圖：必做題是學生必須完成的作業，屬于基礎知識，①和②設置意在考察學生對指數增長模型的掌握情況；選做題具有一定的難度，要求學生自己去查閱相關材料來解決問題，是給學有余力的學生準備的，需要學生去分析題目中的條件，找到符合實際情況的函數模型，可以培養學生的綜合能力.預習任務的設置意在承上啟下，讓學生在梳理單元知識的過程中，掌握概念，體會思想，形成技能，提升素養，也為下節的學習做好準備．
板書設計

 

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