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視頻標簽：圓的標準方程
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學選擇性必修第一冊第二章第四節《圓的標準方程》山東省沂南
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高中數學選擇性必修第一冊第二章第四節《圓的標準方程》山東省沂南第一中學
2.4.1圓的標準方程
本節課選自《2019人教A版高中數學選擇性必修第一冊》第二章《直線和圓的方程》，本節課主要學習圓的標準方程。
在初中曾經學習過圓的有關知識，本節內容是在初中所學知識及前一章內容的基礎上，在平面直角坐標系中建立圓的代數方程，它與其他圖形的位置關系及其應用。在這一過程中，進一步體會數形結合的思想，形成用代數的方法解決幾何問題的能力。
同時，由于圓也是特殊的圓錐曲線，因此，學習了圓的方程，就為后面學習其它圓錐曲線的方程奠定了基礎.也就是說，本節內容在教材體系中起到承上啟下的作用，具有重要的地位。坐標法不僅是研究幾何問題的重要方法，而且是一種廣泛應用于其他領域的重要數學方法。通過坐標系，把點和坐標、曲線和方程聯系起來，實現了形和數的統一。
| 課程目標 | 學科素養 |
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A. 會用定義推導圓的標準方程,并掌握圓的標準方程的特征. B.能根據所給條件求圓的標準方程. C.掌握點與圓的位置關系并能解決相關問題. |
1.數學抽象：圓的標準方程 2.邏輯推理：圓的標準方程的推導 3.數學運算：根據條件求圓的標準方程 4.數學建模：圓的標準方程 |
| 教學過程 |
教學設計意圖 核心素養目標 |
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一、情境導學 《古朗月行》 唐 李白 小時不識月，呼作白玉盤。 又疑瑤臺鏡，飛在青云端。 月亮,是中國人心目中的宇宙精靈,古代人們在生活中崇拜、敬畏月亮,在文學作品中也大量描寫、如果把天空看作一個平面,月亮當做一個圓，建立一個平面直角坐標系,那么圓的坐標方程如何表示? 二、探究新知 思考1 圓是怎樣定義的？確定它的要素又是什么呢？各要素與圓有怎樣的關系？ 定義：平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑. 確定圓的因素：圓心和半徑 圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小. 思考2 已知圓心為A(a,b),半徑為你能推導出圓的方程嗎？  |MA|＝r,由兩點間的距離公式,得  ＝r,化簡可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 一、 圓的標準方程  點睛：(1)當圓心在原點即A(0,0)時,方程為x2+y2=r2. (2)當圓心在原點即A(0,0),半徑長r=1時,方程為x2+y2=1,稱為單位圓. (3)相同的圓,建立坐標系不同時,圓心坐標不同,導致圓的方程不同,但是半徑是不變的. 1.圓心在y軸上,半徑為1,且過點(1,2)的圓的方程是( ) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 解析:設圓心為(0,b),則圓的方程為x2+(y-b)2=1, 又點(1,2)在圓上,所以1+(2-b)2=1,b=2,故方程為x2+(y-2)2=1. 答案:A 二、點與圓的位置關系 圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圓心為C(a,b),半徑為r,點P(x0,y0),設 d=|PC|=  .
A.在圓上 B.在圓外 C.在圓內 D.以上都不對 解析:將點P的坐標代入圓的方程,則(-2)2+(-2)2=8>4,故點P在圓外. 答案:B 三、典例解析 例1.求圓心在直線x-2y-3=0上,且過點A(2,-3),B(-2,-5)的圓的標準方程. 思路分析:解答本題可以先根據所給條件確定圓心和半徑,再寫方程,也可以設出方程用待定系數法求解,也可以利用幾何性質求出圓心和半徑. 解:(方法1)設點C為圓心, ∵點C在直線:x-2y-3=0上,∴可設點C的坐標為(2a+3,a). 又∵該圓經過A,B兩點,∴|CA|=|CB|. ∴  ,解得a=-2. ∴圓心坐標為C(-1,-2),半徑r=  .故所求圓的標準方程為(x+1)2+(y+2)2=10. (方法2)設所求圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心坐標為(a,b), 由條件知  解得 故所求圓的標準方程為(x+1)2+(y+2)2=10. (方法3)線段AB的中點為(0,-4),kAB=  ,所以弦AB的垂直平分線的斜率k=-2, 所以線段AB的垂直平分線的方程為:y+4=-2x,即y=-2x-4. 故圓心是直線y=-2x-4與直線x-2y-3=0的交點, 由  即圓心為(-1,-2),圓的半徑為r=  ,所以所求圓的標準方程為(x+1)2+(y+2)2=10. 圓的標準方程的兩種求法 (1)幾何法 它是利用圖形的幾何性質,如圓的性質等,直接求出圓的圓心和半徑,代入圓的標準方程,從而得到圓的標準方程. (2)待定系數法 由三個獨立條件得到三個方程,解方程組以得到圓的標準方程中三個參數,從而確定圓的標準方程.它是求圓的方程最常用的方法,一般步驟是: ①設——設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2; ②列——由已知條件,建立關于a,b,r的方程組; ③解——解方程組,求出a,b,r; ④代——將a,b,r代入所設方程,得所求圓的方程. 跟蹤訓練1．已知△ABC的三個頂點坐標分別為A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求該三角形的外接圓的方程． [解] 法一：設所求圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 因為A(0,5)，B(1,－2)，C(－3,－4)都在圓上，所以它們的坐標都滿足圓的標準方程， 于是有解得 故所求圓的標準方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25. 法二：因為A(0,5)，B(1,－2)，所以線段AB的中點的坐標為，直線AB的斜率kAB＝＝－7，因此線段AB的垂直平分線的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0.同理可得線段BC的垂直平分線的方程是2x＋y＋5＝0. 由得圓心的坐標為(－3,1)， 又圓的半徑長r＝＝5， 故所求圓的標準方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25. 跟蹤訓練2 已知圓過點A(1,-2),B(-1,4),求: (1)周長最小的圓的方程; (2)圓心在直線2x-y-4=0上的圓的方程. (1)解:當AB為直徑時,過點A、B的圓的半徑最小,從而周長最小,即 AB中點(0,1)為圓心,半徑r=  |AB|=.則圓的方程為:x2+(y-1)2=10. (2)(方法1)AB的斜率為k=-3,則AB的垂直平分線的方程是y-1=  x,即x-3y+3=0.由  即圓心坐標是C(3,2),r=|AC|=  =2 .∴圓的方程是(x-3)2+(y-2)2=20. (方法2)待定系數法. 設圓的方程為:(x-a)2+(y-b)2=r2, 則  ∴圓的方程為:(x-3)2+(y-2)2=20. 例2(1)點P(m2,5)與圓x2+y2=24的位置關系是( ) A.點P在圓內 B.點P在圓外 C.點P在圓上 D.不確定 (2)已知點M(5  +1,)在圓(x-1)2+y2=26的內部,則a的取值范圍是 . 思路分析:(1)首先根據圓的方程確定圓心和半徑,然后利用P到圓心的距離和圓的半徑大小關系確定點與圓的位置關系;(2)首先確定圓心和半徑,利用圓心到點M的距離小于半徑列出不等式求解. 解析:(1)因為(m2)2+52=m4+25>24,所以點P在圓外. (2)由題意知  解得0≤a<1. 答案:(1)B (2)[0,1) 點與圓的位置關系及其應用 點與圓的位置關系有三種:點在圓內、點在圓上、點在圓外.判斷點與圓的位置關系有兩種方法:一是用圓心到該點的距離與半徑比較,二是代入圓的標準方程,判斷與r2的大小關系.通過點與圓的位置關系建立方程或不等式可求參數值或參數的取值范圍. 跟蹤訓練3 若點(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內部,則a的取值范圍是( ) A.a<-1或a>1 B.-1<a<1 C.0<a<1 D.a=±1 解析:由題意可知,(1-a)2+(1+a)2<4,解得a2<1,故-1<a<1. 答案:B 金題典例 1.若P(x，y)為圓C(x＋1)2＋y2＝上任意一點，請求出P(x，y)到原點的距離的最大值和最小值． [提示] 原點到圓心C(－1,0)的距離d＝1，圓的半徑為，故圓上的點到坐標原點的最大距離為1＋＝，最小距離為1－＝. 2．若P(x，y)是圓C(x－3)2＋y2＝4上任意一點，請求出P(x，y)到直線x－y＋1＝0的距離的最大值和最小值． [提示] P(x，y)是圓C上的任意一點，而圓C的半徑為2，圓心C(3,0)，圓心C到直線x－y＋1＝0的距離d＝＝2，所以點P到直線x－y＋1＝0的距離的最大值為2＋2，最小值為2－2.  3. 已知x，y滿足x2＋(y＋4)2＝4，求的最大值與最小值. 思路探究：x，y滿足x2＋(y＋4)2＝4，即點P(x，y)是圓上的點．而表示點(x，y)與點(－1，－1)的距離．故此題可以轉化為求圓x2＋(y＋4)2＝4上的點與點(－1，－1)的距離的最值問題． [解] 因為點P(x，y)是圓x2＋(y＋4)2＝4上的任意一點，圓心C(0，－4)，半徑r＝2， 因此表示點A(－1，－1)與該圓上點的距離． 因為|AC|2＝(－1)2＋(－1＋4)2＞4， 所以點A(－1，－1)在圓外．如圖所示．  而|AC|＝＝， 所以的最大值為|AC|＋r ＝＋2， 最小值為|AC|－r＝－2. 母題探究1：本例中條件不變，試求的取值范圍． [解] 設k＝，則此式可看作是圓上一點與點(－1，－1)連線的斜率． 所以由k＝可得y＋1＝k(x＋1)，此直線與圓應相交． 圓心(0，－4)到直線的距離d≤r. 即≤2，解得k≥或k≤. 2．本例條件不變，試求圓上一點到直線x＋y＝4的最大值與最小值． [解] 圓心(0，－4)到直線x＋y＝4的距離d＝＝＝4. 所以圓上一點到直線x＋y＝4的最大值為d＋r＝2＋4， 最小值為d－r＝4－2. 與圓有關的最值問題的求解策略 (1)本題將最值轉化為線段長度問題，從而使問題得以順利解決．充分體現了數形結合思想在解題中的強大作用． (2)涉及與圓有關的最值，可借助圖形性質，利用數形結合求解．一般地： ①k＝的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；③形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可轉化為兩點間的距離的平方的最值問題等． |
通過古詩中關于月亮的描述，引出建立圓的方程的問題，同時類比直線方程的建立過程，幫助學生通過類比建立圓的標準方程。學會聯系舊知，制定解決問題的策略。讓學生進一步感悟運用坐標法研究幾何問題的方法。 通過點與圓的位置關系，體會運用代數法和幾何法解決問題的特點，發展學生數學運算，數學抽象和數學建模的核心素養。 在典例分析和練習中掌握求圓的標準方程的基本方法，即：代數法與幾何法。發展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養。 通過與圓相關的最值問題的解決，提升學生數形結合的思想，發展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養。 |
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三、達標檢測 1.圓x2+y2=1的圓心到直線3x+4y-25=0的距離是( ) A.5 B.3 C.4 D.2 解析:圓心坐標為(0,0),所以圓心到直線的距離為d=  =5.答案:A 2.以C(2,-3)為圓心,且過點B(5,-1)的圓的方程為( ) A.(x-2)2+(y+3)2=25 B.(x+2)2+(y-3)2=65 C.(x+2)2+(y-3)2=53 D.(x-2)2+(y+3)2=13 解析:∵C(2,-3),B(5,-1),∴|BC|=  ,即圓的半徑r= ,又∵圓心為C(2,-3),∴圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=13,故選D.答案:D 3.已知點P(1,-1)在圓(x+2)2+y2=m的外部,則實數m的取值范圍是 . 解析:由題意,得(1+2)2+(-1)2>m,即m<10.又m>0,故m的取值范圍是(0,10).答案:(0,10) 4.圓(x+2)2+y2=5關于原點O(0,0)對稱的圓的方程為 . 解析:已知圓的圓心(-2,0)關于原點的對稱點為(2,0),半徑不變,故所求對稱圓的方程為(x-2)2+y2=5. 答案:(x-2)2+y2=5 5.求經過點P(1,1)和坐標原點，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上的圓的方程. [解] 法一：(待定系數法) 設圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 則有  ，解得∴圓的標準方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 法二：(幾何法) 由題意知OP是圓的弦，其垂直平分線為x＋y－1＝0. ∵弦的垂直平分線過圓心， ∴由得即圓心坐標為(4，－3)， 半徑r＝  ＝5.∴圓的標準方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. |
通過練習鞏固本節所學知識，通過學生解決問題，發展學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學建模的核心素養。 |
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四、小結 五、課時練 |
通過總結，讓學生進一步鞏固本節所學內容，提高概括能力。 |
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