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視頻標簽：弧度制
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教版必修第一冊第五單元5.1.2《弧度制》
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高中數學人教版必修第一冊第五單元5.1.2 弧度制
5.1.2 弧度制
教學設計
1.課時教學內容
5.1.2 弧度制
2.課時教學目標
（1）能理解弧度的意義；能掌握角度與弧度的換算；了解角的集合與實數集之間的一一對應關系；掌握弧度制下的弧長公式、扇形面積公式。
（2）在教學過程中通過設置問題情境，培養學生發現和探究問題的能力，提升數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學核心素養；領悟概念學習的一般方法和路徑。
（3）通過自行車鏈條的傳動和扳手的轉動，親身感受數學與生活的聯系；通過合作探究，經歷推理獲得圓心角與弧長、半徑之間的關系的過程，感受弧度制的實質是用弧長與半徑的比值來度量角的大小，體會數學的統一美和簡潔美。
（4）認識角度制與弧度制都是度量角的方法，二者是辯證統一的；總結概念學習的一般規律，實現知識的內化、吸收和遷移。3.教學重點與難點
教學重點:弧度制的定義;弧度制與角度制的換算。
教學難點：理解弧度制的定義。
4.教學過程設計
4.1創設情境，抽象問題
教師：圖中的測量用具大家都認識吧？
眾學生：長尺、卷尺、游標卡尺、螺旋測微器，都是測量長度用具
教師：對，我們還知道隨著精度要求的不同，選用不同工具，獲得不同度量單位制，并且不同長度單位之間可以換算，如：1m=10dm=100cm=1000mm，那么，在角度的度量里，除了已經知道的角度制，是否存在著其他的度量制呢？這就是我們今天研究的課題：角的度量制。
設計意圖：通過回顧義務教育階段所學的長度測量和不同長度單位換算的類比引出不同的單位制度量角的問題。
教師：請騎過自行車的同學舉手！
大家都騎過自行車，請你觀察過自行車前后齒輪的轉動（多媒體播放動圖），它們是通過鏈條傳動的，鏈條移動某一確定的長度時,大齒輪轉過的圓心角和小齒輪轉過的圓心角，哪個大？哪個��？為什么？
學生1：大齒輪轉過的圓心角小，因為角速度慢。
教師：很好！從圖中看，因為大齒輪的半徑大，小齒輪的半徑小， 所以在鏈條移動某一確定的長度時，大齒輪轉過的角度小，小齒輪轉過的角度大。這說明圓心角、半徑、弧長之間存在一定的關系.
教師:再如，用扳手轉動螺帽的過程中,在扳手任取兩點
，隨著扳手的轉動，旋轉形成圓弧
，
，你能發現圖中幾何量（半徑、弧長、圓心角）之間，具有哪些相等關系和不等關系？
學生2：半徑不同，弧長也不相等，但轉過的角度相同.
教師：很好！這再次說明圓心角、半徑、弧長之間存在著關系，是怎樣的關系呢？
設計意圖：對學生來說，弧度制是一種新的度量角的單位制。在教學中，有教師釆用規定說，學生對其數學含義和價值不理解，心理不愿接受，學習缺少動力。本設計從學生熟知的兩個生活情境入手，引導學生用數學的眼光觀察世界，可以提高學習興趣。從齒輪轉動的例子,學生感知到同樣的弧長在不同半徑 的圓中所對的圓心角不相等；從扳手轉動螺帽的例子，學生感知到扳手長度改變，相應的弧長也改變，隱含著“弧長與半徑的比值為定值”，兩個例子都為理解弧度制做好了鋪墊。
4.2問題引領，逐步探究
問題1：如圖，在圓
中，設
,圓弧
的長為
, 則
之間有怎樣的關系？
學生3：由弧長公式可知
問題2：這個公式反映了孤長
與圓心角
、半徑
之間的關系。那么圓心角的大小與哪些量有關？
學生4：角的大小與
這四個量有關。其中
和180是常數，
和
是變量。
問題3：你能用式子表示圓心角與這些量的關系嗎？
學生4：
問題5：如果圓心角
變化，比值
是否發生變化？
眾學生：發生變化
問題5：現把圓心角
固定，如果圓的半徑變大，弧長也會變大，比值
是否發生改變？為什么？
眾學生；不變，因為圓心角
固定，也就是角度
不變， 所以比值
不變。
教師:很好！我們用“幾何畫板”驗證。改變圓心角
的大小時，比值
隨之改變；固定圓心角時,改變點P的位置，弧長和半徑
都變化，但比值
不變。
教師：因此，我們得到結論：圓心角所對的弧長與半徑的比值，只與的大小有關；比值
隨著的確定而唯一確定。
設計意圖：通過問題引導，學生回憶了在角度制下的弧長與圓心角、半徑之間的關系，分析了三個量之間的關聯，變形得到了圓心角與弧長、半徑的聯系， 發現了圓心角與比值（弧長與半徑的比值）之間存在著的正比例關系，完成了理論推導。利用“幾何畫板” 軟件,動態演示了圓心角的大小與這個比值之間的直觀變化情況。因此,獲得了圓心角與比值之間的對應關系，從而為接下來弧度制的定義提供了合理性。
4.3借力史實，建構概念
教師:在圓心角
與比值
的對應關系下，這就啟發我們可以用什么來度量圓心角的大小呢？
眾學生：用弧長與半徑的比值來度量圓心角的大小。
教師：很好！既然可以用的值來度量角，那么你覺1弧度角可以怎樣簡單合理的規定呢？
學生5：當
時，
，這時的圓弧所對的圓心角可以規定為1弧度的角。
教師:很好！大數學家歐拉也是這么想的！ 早在1748年，數學家歐拉就直接用的值來度量角的大小，并稱之為弧度制。
我們規定：長度等于半徑的圓弧所對的圓心角叫作1弧度（radian）的角，弧度單位用符號rad 表示，讀作弧度。
教師：我們知道了1弧度角的定義，那1弧度角有多大呢？請同學們嘗試著畫出來。
用“幾何畫板”作圖，并體會1弧度角與
角的大小關系。當
時，圓心角分別為
。（演示不同方向的旋轉，得到圓心角為
）從而將圓中獲取的
，推廣到所有角滿足的
。
教師：大數學家歐拉在研究弧度制時，選取的圓是半徑為1的圓，叫單位圓。這樣做的優點是什么？
在單位圓中，當弧長為
時，圓心角也為
。在弧度制下，角與弧長的度量統一起來，這樣定義角也非常自然，同時也簡化了與角有關的公式。
設計意圖：通過前期的鋪墊，學生自主構建了1弧度角的概念，通過與60°角的大小比較，學生能直觀地感知1弧度角的大小，也為弧度制與角度制的換算做好準備。在此過程中，穿插引入弧度制的有關歷史,讓學生像數學家一樣地思考和解決問題。取半徑為單位長度,使角與弧長的度量統一起來，學生能體會到數學的簡潔美、統一美。同時也為學生能用單位圓作為工具去研究任意角的三角函數、誘導公式以及三角函數圖像和性質奠定基礎。
4.4激活聯系，完善認知
教師:角度制、弧度制都是角的度量制，同一個角 既可以用角度來度量，也可以用弧度來度量，它們之間一定有內在的聯系，那兩者之間有著怎樣的關系呢？
學生6：我想到利用單位圓尋找，如一個圓周角，在角度制下它是360°,在弧度制下它是
rad,所以360°=
rad。
教師:很好！這位同學把圓周角分別用角度和弧度來度量，從而解決了換算問題。如果兩邊同時除以2,可以得到平角的兩種度量：180°=
rad。那么，1°的角是多少弧度的角？ 1弧度的角又是多少度的角？
學生7：由180°=
rad兩邊同時除以180,可得 1° =
rad；若兩邊同時除以
,可得 1 rad=
教師：以后我們只要抓住180°=
rad這個關系進行角度與弧度的換算。同時弧度的單位rad通常略去不寫。
教師:角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數集R之間建立起一一對應的關系：每一個角都有唯一的一個實數與之對應，每一個實數也都有唯一的角和它對應。
設計意圖：同一個量用不同的單位度量，兩個單位制之間必定存在聯系。角度制與弧度制也是如此, 至此學生能體會角的兩個度量系統的相容性,掌握兩種度量的直接互換。表格中所填數值的對應性，就像設置在數軸上一樣，便于學生直觀感受到弧度制下角的集合與實數集R之間的對應關系。
4.5表達優化，類比識記
教師：弧度制的優點還能體現在其他地方.如，你能對比初中所學的扇形弧長和面積公式，說說弧度制下的扇形弧長與面積公式的優點嗎？
學生板演1：角度制下：弧長，面積。
學生板演2：由得弧長公式，而面積，得到面積公式.
教師:很好！我們看到，采用弧度制，扇形的弧長和面積公式都簡潔了，這正是引入弧度制的原因之一。
教師：扇形面積公式和學過的哪個面積公式類似？
眾學生：和三角形的面積公式類似。
教師（追問）：這是偶然的嗎？它們之間是否有著內在聯系呢？（作為課后思考題）
設計意圖：弧度制的優越性不僅在于用實數表示角，還表現在一些公式因為孤度制的引入得到形式上的簡化。學生親身經歷簡化過程，更容易理解扇形的幾個量之間的關系，也能體會弧度制給解決問題帶來的方便,這也是引入弧度制的原因。再由扇形的面積公式啟發學生聯想到三角形的面積公式，并留白讓學生課后思考兩者之間的關系（通過極限分割思想來聯系兩者）了解這些,讓學生對弧度的認識上升到一個新的高度。
4.6課堂小結，凝練升華
小結1:本節課我們是按照怎樣的研究路徑來學習弧度制的？
學生15：我們先感受生活中的實例，分析角度制下的弧長公式，再給出1弧度角的定義以及在弧度制下角的代數表示，弧度制和角度制之間的換算關系，最后簡化了弧長和扇形的面積公式。即研究途徑為：背景--定義--表示--運算--性質.
小結2：談談角度制和弧度制的區別與聯系。
眾學生：角度制與孤度制的區別是度量單位不同（單位分別是角度和弧度），進位制不同（角度是六十進位和十進位，弧度是十進位），弧長公式不同（在弧度制下，弧長公式和扇形面積公式都變得簡潔了）； 他們的聯系是兩種度量角的單位制都與圓的半徑大小無關，他們之間的換算關系是180°=rad。
教師:大家總結得很好！其實角的度量制還有很多，比如軍事上的密位制，有興趣的同學課后可以査找相關資料。并布置課后作業：課本176頁第4,5,6題
設計意圖：反思總結，形成知識體系。將角度制與弧度制進行對比，找到區別和聯系，為今后理解和正確使用弧度制帶來方便�；仡櫿澱n的學習過程，即經歷了一個概念學習的科學探究過程，這對學生以后的概念學習會起到積極的作用。并通過作業習題鞏固概念，使學生知識技能、綜合能力得到提升。
5. 目標檢測設計
題1：
（設計意圖：幫助學生熟悉掌握角度制與弧度制之間的相互轉化）
題2：對比初中所學的扇形弧長和面積公式，說說弧度制下的扇形弧長與面積公式的優點嗎？
（設計意圖：除要求學生熟練掌握角度制與弧度制的換算、提升學生邏輯推理素養外，還展示出弧度制下的弧長公式、扇形面積公式的形式簡潔美，讓學生感受弧度制帶來的便利）
題3：扇形面積公式和學過的三角形的面積公式類似，這是偶然的嗎？它們之間是否有著內在聯系呢？
（設計意圖：作為課后思考題留給學生交流討論兩者之間的關系（通過極限分割思想來聯系兩者），了解這些能讓學生對弧度的認識上升到一個新的高度）
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
