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視頻標(biāo)簽：角平分線的性質(zhì)
所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：人教版八年級(jí)上冊(cè)第十二章第三節(jié)《角平分線的性質(zhì)》廣東省優(yōu)課
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人教版八年級(jí)上冊(cè)第十二章第三節(jié)《角平分線的性質(zhì)》廣東省優(yōu)課
12.3.2 角平分線的性質(zhì)（2）教學(xué)設(shè)計(jì)
一、 內(nèi)容和內(nèi)容解析 1. 內(nèi)容
角平分線的性質(zhì)的逆定理，即角平分線的判定。 2. 內(nèi)容解析
角平分線的性質(zhì)的逆定理是在學(xué)生學(xué)習(xí)了角平分線性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究角平分線的判定方法。角平分線的性質(zhì)的逆定理的研究過(guò)程為以后學(xué)習(xí)線段垂直平分線的性質(zhì)的逆定理提供了思路和方法。
這是全等三角形知識(shí)的運(yùn)用和延續(xù)。角平分線的性質(zhì)的逆定理證明，運(yùn)用了三角形全等的“HL”判定方法和全等三角形的性質(zhì)。角的平分線的性質(zhì)的逆定理提供了之前所學(xué)“三角形三條角平分線交于一點(diǎn)”的猜想的證明，同時(shí)還能得到這個(gè)交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等的結(jié)論，是今后學(xué)習(xí)圓的內(nèi)心的基礎(chǔ)。
基于以上法分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：證明角平分線的性質(zhì)的逆定理。 二、 目標(biāo)和目標(biāo)解析 1、 目標(biāo)
（1） 證明角的平分線的性質(zhì)
（2） 能用角的平分線的性質(zhì)的逆定理解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。 2、 目標(biāo)解析 達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：學(xué)生能在教師的引導(dǎo)下或與同學(xué)合作，經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證的過(guò)程，并能運(yùn)用三角形全等的“HL”的判定方法和全等三角形的性質(zhì)證明角平分線的性質(zhì)的逆定理。
達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：能直接利用角平分線的性質(zhì)的逆定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和相關(guān)的證明。
三、 教學(xué)問(wèn)題診斷分析
在本課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，對(duì)應(yīng)當(dāng)使用角平分線的性質(zhì)還是角 平分線的性質(zhì)的逆定理常常感到很困難，其主要原因是沒(méi)有理解好這兩者之間的區(qū)別和聯(lián)系。教學(xué)時(shí)，教師在引入課題部分，通過(guò)類比設(shè)置疑問(wèn)的方式引起學(xué)生對(duì)此問(wèn)題的注意；在證明定理后，又引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)定理的已知、結(jié)論、作用等方面進(jìn)行對(duì)比、分析；在鞏固練習(xí)時(shí)，帶領(lǐng)學(xué)生從已知及求證的內(nèi)容出發(fā)分析問(wèn)題，對(duì)應(yīng)當(dāng)使用何種定理進(jìn)行判斷，從而使學(xué)生能準(zhǔn)確運(yùn)用角平分線性質(zhì)定理的逆定理解決問(wèn)題。
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用角平分線的性質(zhì)的逆定理解決問(wèn)題。
四、 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 1、 知識(shí)回顧
如圖，已知點(diǎn)P是∠AOB的平分線上的一點(diǎn)，PD⊥AO,PE⊥BO，垂足分別為D，E。則PD=______
師生活動(dòng)：學(xué)生回答問(wèn)題并說(shuō)明理由，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧角平分線的性質(zhì)，并強(qiáng)調(diào)角平分線性質(zhì)的已知和結(jié)論。
【設(shè)計(jì)意圖】：引導(dǎo)學(xué)生回憶原有知識(shí)，為同化新規(guī)則做好準(zhǔn)備。 2、 新知探索
問(wèn)題1：如圖，要在S 區(qū)建一個(gè)廣告牌P，使它到兩條高速公路的距離相 等,請(qǐng)你幫忙設(shè)計(jì)一下，這個(gè)廣告牌P大致建于何處？
師生活動(dòng)：教師分析題目，將圖案轉(zhuǎn)化為幾何圖 形后，讓學(xué)生回答問(wèn)題。
追問(wèn)1：這位同學(xué)的回答你們認(rèn)可嗎? 【設(shè)計(jì)意圖】：引起學(xué)生對(duì)角平分線性質(zhì)定理的逆定理的注意，初步感受角平分線性質(zhì)的逆定理與角
平分線的性質(zhì)定理之間的區(qū)別和聯(lián)系，使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)新規(guī)則產(chǎn)生一定的預(yù)期。
追問(wèn)2：你準(zhǔn)備如何驗(yàn)證你的結(jié)論呢？
師生活動(dòng)：學(xué)生回答，教師根據(jù)學(xué)生的回答作進(jìn)一步分析。 【設(shè)計(jì)意圖】：利用多種方式讓學(xué)生驗(yàn)證結(jié)論并建立幾何直觀。 問(wèn)題2：請(qǐng)你用嚴(yán)格的邏輯證明證明你的猜想
師生活動(dòng)：學(xué)生思考，板演證明過(guò)程，教師點(diǎn)評(píng)證明思路，并用幾何語(yǔ)言表述定理。
證明: 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作射線OC
∵PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠PDO＝∠PEO＝90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO＝PO
PD=PE
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL） ∴∠ POD＝∠POE
∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上
師生活動(dòng)：學(xué)生上臺(tái)寫過(guò)程，教師關(guān)注學(xué)生的證明思路。 追問(wèn)1:請(qǐng)你用文字語(yǔ)言概括剛才我們證明的結(jié)論 追問(wèn)2:請(qǐng)你用符號(hào)語(yǔ)言表示剛才我們證明的結(jié)論 【設(shè)計(jì)意圖】：在學(xué)生經(jīng)歷了猜想后，讓學(xué)生用邏輯證明的方式證明定理，讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用三角形全等的“HL”的判定方法和全等三角形的性質(zhì)證明角平分線的性質(zhì)的逆定理的過(guò)程。
追問(wèn)1：如果點(diǎn)Q到OA的距離等于2cm，且Q到OB距離等于2cm，則Q在∠AOB的平分線上嗎？（是的）
追問(wèn)2：如圖1，QE=QD，則OQ平分∠AOB嗎？（不一定）
追問(wèn)3：如圖2，若QM⊥OA于M，QN⊥OB于N，則OQ是∠AOB的平分線嗎？（不一定）
圖3 圖2 圖1
師生活動(dòng)：學(xué)生回答，并說(shuō)明理由，教師強(qiáng)化使用定理所需要的條件
【設(shè)計(jì)意圖】：利用正反例，明確新規(guī)則適用的條件，并用過(guò)不斷對(duì)照定理進(jìn)行分析來(lái)強(qiáng)化學(xué)生所學(xué)到的新定理。
追問(wèn)4：如圖3，點(diǎn)Q到∠AOB兩邊的距離相等，若∠AOB=50°，則 ∠AOP=_______.
師生活動(dòng)：學(xué)生回答，并說(shuō)明理由，教師歸納新定理的作用，說(shuō)明這個(gè)定理是角平分線的判定定理，并說(shuō)明因?yàn)檫@個(gè)結(jié)論是根據(jù)三角形全等證明出來(lái)的，所以我們不需要再次證明三角形全等，直接使用這一結(jié)論簡(jiǎn)單又方便。
問(wèn)題3：角平分線的判定與角的平分線的性質(zhì)有什么區(qū)別和聯(lián)系？
師生活動(dòng)：學(xué)生回答，教師從圖形、條件和結(jié)論等方面進(jìn)行補(bǔ)充說(shuō)明。
【設(shè)計(jì)意圖】：通過(guò)對(duì)比，加深學(xué)生對(duì)角平分線判定定理的理解，突破學(xué)生對(duì)兩個(gè)定理容易出現(xiàn)混淆的難點(diǎn)，為突破例題的難點(diǎn)做準(zhǔn)備。
3、 例題示范
問(wèn)題3：如圖，點(diǎn)P是△ABC的兩條角平分線BP，CP的交點(diǎn)，求證:點(diǎn)P在∠BAC的平分線上.
追問(wèn)1：如何判斷點(diǎn)P在∠BAC的平分線上？根據(jù)是什么？
師生活動(dòng)：教師通過(guò)學(xué)生的回答，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直接證明兩個(gè)角相等行不通，用新學(xué)定理可以指導(dǎo)判斷點(diǎn)P在不在角平分線上的關(guān)鍵是考慮這個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離是否相等，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)需要作兩條輔助線。
追問(wèn)2：這兩條垂線段的長(zhǎng)度是否相等呢？
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析后,學(xué)生口頭說(shuō)解答過(guò)程,教師板書并點(diǎn)評(píng) 解：點(diǎn)P在∠BAC的平分線上，理由如下
過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∵ BP是△ABC的角平分線，PD⊥AB，PE⊥BC ∴PD=PE 同理，PE=PF ∴PD=PF
∵ PD=PF，PD⊥AB，PE⊥BC ∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線上
最后教師引導(dǎo)學(xué)生歸納小結(jié)，獲得解題經(jīng)驗(yàn)：（1）明確角平分線的性質(zhì)和判定的幾何表述；（2）再次明確角平分線的性質(zhì)和判定的區(qū)別和聯(lián)系；（3）在解決與角平分線相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常過(guò)點(diǎn)作角兩邊的垂線段作為輔助線。
追問(wèn)3：這說(shuō)明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？
師生活動(dòng)：學(xué)生回答后教師點(diǎn)評(píng)。 【設(shè)計(jì)意圖】：給學(xué)生應(yīng)用角平分線的性質(zhì)及判定定理作出示范，幫助學(xué)生明確運(yùn)用規(guī)則解決問(wèn)題的程序與步驟，幫助學(xué)生獲取基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。
4、 變式提高
變式1：如圖，要在S 區(qū)建一個(gè)廣告牌P，使它到兩條公路和一條鐵路的 距離都相等．這個(gè)廣告牌P 應(yīng)建在何處？
師生活動(dòng)：學(xué)生直接利用例題所得經(jīng)驗(yàn)回答，教師說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用廣泛
變式2：如圖，P點(diǎn)是△ABC的兩個(gè)外角平分線BM，CN的交點(diǎn)，求證：點(diǎn)P在∠BAC的平分線上．
師生活動(dòng)：學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行證明，學(xué)生口述證明過(guò)程，教師在黑板上作出輔助線并進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。
變式3：將問(wèn)題1中“S區(qū)”去掉，廣告牌P到兩條公路和一條鐵路的距離相等．這個(gè)廣告牌P應(yīng)建在何處？
師生互動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)變式的解題經(jīng)驗(yàn)思考問(wèn)題，如果時(shí)間不夠，則作為課后思考題。 【設(shè)計(jì)意圖】：通過(guò)反復(fù)的階梯式的訓(xùn)練，不斷鞏固所學(xué)知識(shí)，提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。
5、 歸納小結(jié) （1）填空
（2）你有什么方法能證明兩個(gè)角相等？ 師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié).
【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生通過(guò)填空再次鞏固角平分線的判定定理，并辨析角平分線性質(zhì)與判定的區(qū)別和聯(lián)系，學(xué)會(huì)歸納總結(jié)，梳理知識(shí)，提高認(rèn)識(shí). 6、 布置作業(yè)
《陽(yáng)光學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)》P48～49基礎(chǔ)訓(xùn)練（2） 【設(shè)計(jì)意圖】：通過(guò)后續(xù)應(yīng)用規(guī)則，促進(jìn)所學(xué)規(guī)則的保持與遷移。
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