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視頻標簽：事件的相互獨立性
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教B版2019必修第二冊《10.2 事件的相互獨立性》山東省沂南
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高中數學人教B版2019必修第二冊《10.2 事件的相互獨立性》山東省沂南第一中學
10.2《事件的相互獨立性》教學設計
| 教學設計 |
教學設計意圖 核心素養目標 |
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一、回顧舊知，展示學習目標，引出新課 復習概念：事件的關系和運算、概率的基本性質 問題1:在前面的學習中，我們知道，積事件 AB就是事件 A 與事件 B同時發生.因此，積事件AB發生的概率一定與事件A，B發生的概率有關.那么，這種關系是怎樣的呢？ 師:在上一節課中，我們通過研究A∩B＝Ø 以及A∩B≠Ø，分別得到了P（AUB）的計算公式，你能說出在隨機事件下它們的具體含義嗎？ 生1:事件 A，B滿足 A∩B＝Ø，說明事件 A與事件B 互斥，不能同時發生。A∩B≠Ø，說明事件 A與事件B不互斥，能有同時發生的事件。 生2:AUB表示A與 B至少一個發生。 二：創設情境，生成概念，課堂探究 問題 2:當A∩B≠Ø時，如何得到P（A∩B）即P（AB）的計算公式呢？ 情境與活動一: 下面兩個隨機試驗各定義了一對隨機事件A和B 試驗1:分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，A＝“第一枚硬幣正面朝上”，B＝“第二枚硬幣反面朝上”。 試驗2:一個袋子中裝有標號分別為1，2，3，4的4個球，除標號外沒有其他差異.采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球，設A＝“第一次摸到的球的標號小于3”，B＝“第二次摸到球的標號小于3” 師:你覺得事件A發生與否會影響事件B發生的概率嗎? 生3:試驗1是不會的，因為兩枚硬幣之間是沒有關聯的。 生4：試驗 2是不會的，因為兩次摸球，每一次在摸球前都是從4個球中依次摸兩個球．因此A∩B＝Ø。 追問:分別計算P（A），P（B），P（AB），你有什么發現？ 生 5：用1表示硬幣“正面朝上”，用0示硬幣“反面朝上”，則樣本空間為Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4個等可能的樣本點。而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},所以AB={(1,0)}。 |
由知識回顧，提出問題，類比思考。發展學生數學抽象、直觀想象和邏輯推理的核心素養。 在整章通過集合的觀點定義了隨機事件后，在上一節課的和事件（集合中的并集運算）研究之后，自然地想到了本節課要研究的積事件（集合中的交集運 算），起到了承上啟下的作用。 層層設問，挖掘概念內涵 |
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由古典概型概率計算公式，得P(A)=P(B)=0.5, P(AB)=0.25.于是P(AB)=P(A)P(B). 生6：樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含 16個等可能的樣本點.而 A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}, B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}, AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}, 于是也有 P(AB)=P(A)P(B)。 師：和前面的學習內容一樣，我們從特殊情況出發，得到了一般性的結論： 對任意兩個事件A，B，如果 P（AB）＝ P（A）·P（B）成立，則稱事件A和事件 B相互獨立。 師：誰能進一步說明必然事件和不可能事件與其他事件的獨立性關系？ 生7：因為必然事件Ω總會發生、不可能事件總不會發生，都不受任何事件是否發生的影響，因此，他們都與任意事件相互獨立.必然事件 及不可能事件與任何事件A相互獨立。 環節三：辨析概念，提高認識 例1.一個袋子中有標號分別為1,2,3,4的4 個球，除標號外沒有其他差異，采用不放回方式從中任意摸球兩次，設事件A=“第一次摸出球的標號小于3”，事件B=“第二次摸出球的標號小于3”，那么事件A與事件B是否相互獨立？ 生13：解：因為樣本空間Ω={(m,n)|m,n ∈{1,2,3,4},且m≠n},共有12個樣本點 A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}, B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}, AB={(1,2),(2,1)} 所以此時P(AB)≠P(A)P(B),因此，事件A與事件B不獨立.  引入新知，判斷兩個事件相互獨立的方法： 1.定義法：P(AB)=P(A)P(B) 2.直接法：由事件本身的性質直接判斷兩個事件的發生是否相互影響。 小結：事件的相互獨立是事件之間的一種重要的關系，但是它不同于事件的包含、相等、互斥和互相對立關系——事件的獨立性需要用概率來定義。而互斥的兩個事件A和B是指事件A與B不能同時發生，其實質為A∩B＝Ø。 環節四：深化理解，觸類旁通 問題4:互為對立的兩個事件是非常特殊的一種事件的關系，如果事件A與事件B相互獨立，那么它們的對立事件是否也相互獨立？ 情境與活動二:（探究） 以有放回摸球試驗為例，分別驗證A與B，A 與B，A與B是否獨立，你有什么發現？（以試驗2為例） 生11：學生舉例驗證A與B相互獨立 師：你能證明嗎? 生12：     師：我們得到性質：若A和B相互獨立，則A與B，A 與B，A與B都是相互獨立的。 環節五：鞏固新知，解決問題 例2.甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8,乙的中靶概率為0.9, 求下列事件的概率： (1)兩人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)兩人都脫靶； (4)至少有一人中靶. 生14：解：設A= “甲中靶”, B=“乙中靶”, 則  =“甲脫靶”, =“乙脫靶”,由于兩個人射擊的結果互不影響,所以A與B相互獨立,A與B,與B,與都相互獨立由已知可得,   .（1）AB=“兩人都中靶”,由事件獨立性的定義得P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72 （2）“恰好有一人中靶”=  ,且且  與 互斥，根據概率的加法公式和事件獨立性定義,得   （3）事件“兩人都脫靶”=  ,所以 （4）方法1：事件“至少有一人中靶”=  , 兩兩互斥，所以  方法2：由于事件“至少有一人中靶”的對立事件是“兩人都脫靶”根據對立事件的性質 ,得事件“至少有一人中靶”的概率為  .環節六：當堂檢測 （2021高考真題）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件 “第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件 “第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（ ） A. 甲與丙相互獨立 B. 甲與丁相互獨立 C. 乙與丙相互獨立 D. 丙與丁相互獨立 環節七：課堂小結 教師引導學生回顧本節課學習的內容，并回答下列的問題： 問題5: 通過本節課的學習，你能說一說，事件A和事件B相互獨立的含義嗎？ 如何判斷事件A與B是相互獨立的?如何判斷事件A與B是互斥的? 你能說一說二者的區別嗎? 師生活動:在學生獨立思考的基礎上，教師根據學生的回答，進一步引導學生體會事件相互獨立的含義.引導學生把握概念的本質，區分“兩個事件相互獨立”與“兩個事件互斥”。 教師小結：事件的相互獨立是事件之間的一種重要的關系，但是它不同于 事件的包含、相等、互斥和互相對立關系 ——事件的獨立性需要用概率來定義。而互斥的兩個事件A和B是指事件A與B不能同時發生，其實質為A∩B＝Ø。 環節八：課后作業 1．課本練習1.2.3.4 2. 創新設計相應練習 |
通過具體問題的事件分析，歸納出相互獨立事件的概念。發展學生數學抽象、邏輯推理的核心素養。通過探究，可以得到P（AB）與P（A），P（B）的關系，體現了由特殊到一般的原則 層層設問，挖掘概念 內涵，弄清互斥與相 互獨立事件的區別。 通過具體問題的事件分析，歸納出相互獨立事件的性質。發展學生數學抽 象、邏輯推理的核心素養。 多方法解決問題，培養發散思維 通過實例分析，讓學生掌握相互獨立事件的判定及概率計算，提升推理論證 能力，提高學生的數學抽象、數學建模及邏輯推理的核心素養。 通過例題，讓學生體會綜合利用事件的互斥關系的性質與事件的獨立性計算 兩個事件積的概率，同時培養學生良好的思考習慣 多方法解決問題，培 養發散思維 當堂檢測 感受高考真題，樹立 信心 一方面引導學生反 思 本 節 課 的 重 點 ——概括判斷事件A與B 相互獨立的方法，另一方面 為了促進學生對容易混淆的事件的互斥與獨立性概念進 行比較、澄清。 課后及時鞏固 |
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